文档介绍：关于秩的一些定义、定理、命题一、向量组的秩定义:向量组{apa2...as}中存在r个线性无关的向量,且其中任一个向量可山这r个线性无关的向量线性表示,则数r称为向量组的秩。等价定义:若向量组屮存在r个线性无关的向量,H-任何r+l个向量都线性相关,则称数r为向量组的秩。关于向量组的秩的定理1、设^{a1,a2••,as}=P>秩{Bi,%…Bt}=「若向量组可由向量组线性表示,则rSp。(秩大可表示秩小)2、若两个向量纟I[等价,则它们的秩相等。二、矩阵的秩关于矩阵的秩的基本结论:矩阵的秩=矩阵的行秩=矩阵的列秩=矩阵的秩=矩阵的非零子式的最高阶数;初等变换不改变矩阵的秩。关于矩阵的秩的定理、命题1、 n阶矩阵A的秩等于n的充要条件是|A|^0o2、 Amxnx=O有非零解的充要条件是r(A)<n;只有零解的条件是r(A)二A的列数,A为n阶方阵时<=>|A|HO;3、 Amxn,r(A)<n,则Ax=O存在基础解系,且其含有n-r(A)个解向量。解齐次方程组时,自由变量的个数为n・r(A)个,找出一个秩为r(A)的矩阵,其余的(A)个列对应的就是自由变量,每次给一个自由变量赋值为1,其余自由变量赋值为零,共需赋值n・r(A)次。解非齐次方程组时,令全部自由未知量为零即可得到一个特解。4、设A、B均是n阶矩阵,且r(A)+r(B)<n,则A、B有公共的特征向量。推广:设A、B均是n阶矩阵,则A、B有公共特征向量的充要条件是存在入,口R,使AE-A15、 n阶矩阵可相似对角化的充要条件是对于矩阵A的每一个山車特征值入「特征矩阵AjE-A的秩r(入jE・A)=n-nP即对矩阵A的每一个小重特征值入”其线性无关的特征向量的个数恰好等于该特征值重数口。6、关于秩的一些等式&不等式r(A+B)<r(A)+r(B);r(AB)<min{r(A),r(B)};r(AB)>r(A)+r(B)-n;r(A)4-r(B)—n<r(AB)<min{r(A),r(B)};若AB=O,贝打(A)4-r(B)<n;若P、Q为n阶可逆矩阵,则r(A)=r(PA)=r(AQ)=r(PAQ);r(ATA)=r(A);A为n阶矩阵,若r(A)=l,则A=(a「a2,…aj^bi,b2,-«-bn):A2=kA,JWk=tr(A);A为n阶矩阵,若A?=A,贝ijr(A)4-r(A-E)=n;若A2=E,则r(A+E)+r(A-E)=n;7、设A*为A的伴随矩阵,则{n,r(A)=nr(A)=n-10,r(A)<n—1关于特征值与特征向量的一些定理、命题定义:略特征值与特征向量的性质:1、若X]和X2都是A的属于特征值的特征向量,贝|J+k2x2也是A的属于特征值的特征向量(ki,k?为任意常数,但&X]+k2x2HO);2、设A为n阶方阵,入-入2是A的两个不筹的特征值,xi和X2分别是属于入1和入2的特征向量,则xi+X2不是A的特征向量;3、设n阶矩阵A的n个特征值为入-A2-,入*则、冴=i入i=trA;、IliLiXj=detA由(2)可知,非奇异矩阵的特征值全为非零数,奇异矩阵至少有一个特征值为零。4、若是矩阵A的特征值,x是属于入的特征向量,则、kA是kA的特征值;、右是肝的特征值;当A可逆时,入t是A-】的特征值;f(x)是x的m次多项式,BPf(