文档介绍：二阶常系数非齐次微分方程第七节二阶常系数非齐次线性微分方程二阶常系数非齐次线性方程的一般形式为,,,()y,py,qy,f(x)根据线性微分方程的解的结构定理可知,要求方程()的通解,只要求出它的一个特解和其对应的齐次方程的通解,两个解相加就得到了方程()*应齐次方程的通解的方法,因此,本节要解决的问题是如何求得方程()()的特解的形式与右端的自由项有关,如果要对的一般情形来求方程f(x)f(x)()的特解仍是非常困难的,(x),x,1.,其中是常数,是的一个次多项P(x)xmf(x),P(x)emmmm,1式:;P(x),ax,ax,?,ax,am01m,1m,x,x,,其中,是常数,是的一个次,P(x)xmf(x),P(x)ecos,xP(x)esin,?二阶常系数非齐次线性方程的求解问题,x?型?例1f(x),P(x)em?例2?例3?例4?例5?例6,x,x?或型f(x),P(x)ecos,xP(x)esin,xmm?例7?例8?例9?例10?例11?内容小结?课堂练习?习题8-7?返回内容要点:,x一、型f(x),P(x)em,x当时,二阶常系数非齐次线性微分方程()具有形如f(x),P(x)em*k,x()y,xQ(x)emk,m的特解,其中Q(x)是与P(x)同次(次)的多项式,而按是不是特征方程的根、是mm特征方程的单根或是特征方程的重根依次取0、,但要注意()式中的k是特征方程的根kk,,,ss的重数(即若不是特征方程的根,取0;若是特征方程的重根,取为).,x,x二、或型f(x),P(x)ecos,xP(x)esin,xmm即要求形如,x,,,()y,py,qy,P(x)ecos,xm,x,,,()y,py,qy,P(x)esin,xm两种方程的特解.,x,x由欧拉公式知道,和分别是P(x)ecos,xP(x)esin,xmm(,,i,)x,xP(x)e,P(x)e(cos,x,isin,x)(,,i,)x,,,.()y,py,qy,P(x)()的一个特解,则根据第六节的定理5知道,方程()的特解的实部就是方程()的特解,而方程()的特解的虚部就是方程()的特解.(,,i,)x,,i,,,0方程()的指数函数e中的()是复数,特征方程是实系数的二次方程,,,i,所以只有两种可能的情形:或者不是特征根,()具有形如*k(,,i,)x()y,xQ(x)emk,的特解,其中是与同次(次)的多项式,而按是不是特征方程的根或是mQ(x)P(x),但要注意()式中的k是特征方n,,i,:,x型f(x),P(x)em例1(讲义例1)下列方程具有什么样形式的特解?3x,2x,,,,,,(1)(2)y,5y,6y,e;y,5y,6y,3xe;2,x,,,(3)y,2y,y,,(3x,1)e.,,,y,2y,3y,3x,1例2(讲义例2),,,例3(讲义例3),3y,2y,xex,,,y,x,e2x例5(讲义例4求方程的特解.,,,y,2y,y,(6x,4)e,x,1x例6(讲义例5)求方程,,,,,,,3y,3y,y,e,,,y,4sinx,x,x或型f(x),P(x)ecos,xP(x)esin,xmm,,例8(讲义例6),y,xcos2xx2,例9(讲义例7)(x),1,[6sint,y(t)]dt,y(0),1,y(x)y(x),02,2x例10(讲义例8)求以(其中为任意常数)为通解的线性微C,Cy,(C,Cx,x),,,例11已知函数是二阶常系数非齐次线性微分方程y,e,(x,1)ey,ay,by,cea,b的一个特解,,,,,4y,4y,6x,8e2x,,,,y,2xex,,,,6y,9y,ecosx2,,,,,,y,x,4x总黄酮生物总黄酮是指黄酮类化合物,是一大类天然产物,广泛存在于植物界,是许多