文档介绍：实对称矩阵特征值和特征向量计算摘要:介绍实对称矩阵特征值和特征向量的基本计算方法(幂法、反幂法和原点平移法),结合幂法、反幂法和原点平移法的特点,给出求实对称矩阵特征值和特征向量的一种数值算法。这种数值解法能有效地处理幂法、反幂法和原点平移法在迭代时可能出现的一些问题,并通过实例验证了本算法的有效性。关键词:实对称矩阵;幂法;反幂法;特征值;特征向量Abstract:Inthepaper,weintroducethebasicmethodofcalculationofrealandsymmetricmartialeigenvaluesandeigenvectors,putingrealandsymmetricmartialeigenvaluesandeigenvectors,whichdrawstrongpointfromthepowermethod, theinversepowermethodandtheoriginmovemethod Thealgorithmgetsovershortagesofthepowermethod,':realandsymmetricmartial,thepowermethod,theinversepowermethod,eigenvalues,eigenvectors在工程实践中经常涉及到求实对称矩阵特征值和特征向量的问题,例如在对数据做主成分分析和典型相关分析时就涉及到求解协方差矩阵的特征值和特征向量的问题。求解特征值问题有很多方法,常用的有:LR方法、QR方法、幂法和反幂法、雅可比法。幂法是求解矩阵特征值的一种常用方法,用于计算矩阵绝对值最大的特征值。在实际应用中,幂法的收敛速度由第一特征值和第二特征值比值的绝对值来确定。这个比值越接近于上迭代的收敛速度就越慢。文中结合幂法、反幂法和原点平移法的特点,给出求解实对称矩阵特征值和特征向量的一种新的、有效的数值算法。该方法克服了幂法的不足,提高了运算速度和计算精度。通过实例验证了本算法的有效性。。通过分析由迭代格式产生的序列的收敛情况来构造算和它对应的特征向量的计算方法当K充分大时,有因此,可把作为与对应的特征向量的近似。同样,我们还有∴对应的分量近似成比例,比例因子正好近似等于由于迭代公式本质上是计算,因此称这种迭代法为幂法。,它的特征值满足|λ1|>|λ2|>···>|λn-1|>|λn|>0,,对应用幂法可得A的按模最小的特征值和特征向量,这种方法称为反幂法,计算公式为反幂法的一个重要应用是应用”原点位移”,求指定点附近的某个特征值和对应的特征向量。。这里只就各方法在算法中的作用,以及迭代时可能出现的问题进行讨论,并且针对在实际问题中遇到的实对称矩阵可能存在相等的特征值,互为相反数的特征值和零特征值等情况,以及这些情况可能导致采用幂法运算时精度降低、结果错误或不收敛等情况给出解决方案。设矩阵A为n×n阶实对称矩阵,由线性代数知识可知,矩阵(其中,γ为实数,I为n×n单位矩阵)都是对称矩阵,且有相同的特征向量,各矩阵不同特征值所对应的特征向量相互正交。在本算法中,先用幂法计算矩阵A的近似特征值γ和特征向量η再对矩阵进行平移,得矩阵(A一γI),然后对矩阵(A一γI)用反幂法进行修正,最后得到矩阵A的较精确的特征值γ和特征向量η。(i<n)以及前i个特征值所对应的特征向量,它们是两两正交的单位特征向量第一步,从近似特征向量中剔除已知特征向量的分量。随机给出第i+1个初始特征向量ε并从中减去前i个特征向量的成分,即其中,(*,*)表示两向量的内积。接着将ε单位化。本步可求出重特征值对应的不同的相互正交的特征向量。第二步,用矩阵对ε做幂法迭代,并对特征值情况做初步判断。用下面公式循环对ε做幂法迭代,其中表示向量的模。由于使用了式,所以在每次迭代中,可以求出重特征值对应的不同的相互正交的特征向量。在迭代中,若人的值很小,接近于0取平移矩阵A,使,转入第二步(这样做可较精确地计算出0特征值对应的特征向量),否则继续迭代。如果当前后两次迭代所