文档介绍：第二章极限与连续1. 正确理解数列极限、函数极限以及几何意义,仔细体会它们的数学内涵;2. 理解并掌握数列收敛判别法,会用这些法则求各种形式数列的极限;3. 理解函数单侧极限的概念,能用它讨论函数在临界点处的极限问题;,重点是两个重要极限及其应用;5. 理解无穷大、无穷小、连续、间断等概念,会进行无穷小的比较、会讨论函数在临界点处的连续和间断问题;6. 理解连续函数在闭区间上的性质,掌握闭区间上连续函数的重要性质和定理。第二章极限与连续§、概念引入二、数列定义三、数列的极限四、数列极限的性质五、数列收敛判别法六、小结老农有十九头牛,遗嘱:大儿子分二分之一,二儿子分四分之一,小儿子分五分之一,不可杀牛. 如何分割?1、《九章算术》中老农分牛自由落体在时刻t 的瞬时速度。一、概念的引入2、截丈问题“一尺之棰,日截其半,万世不竭”n1 1 1?2 42? ??????????3、物理问题1/1/、数列的定义定义:按自然数?,3,2,1编号依次排列的一列数??,,,,21nxxx (1)称为无穷数列,,nx称为通项(一般项).数列(1)记为}{nx.;,2,,8,4,2??n;,21,,81,41,21??n}2{n}21{n1、实数列说明:1).,,,,21??nxxx2)数列是整标函数).(nfxn?1/2/;,)1(,,1,1,11?????n})1{(1??n;,)1(,,34,21,21??nnn???})1({1nnn???2、常见数列3、有界数列、无界数列4、单调数列调和数列、等比数列、常数列、摆动数列有界数列:既有上界,也有下界;无界数列:可无上界,,单调减数列。2/2/、数列的极限1/7/. 观察数列:1{ } { } ( ) :nnx nn?? ???问题1:当无限增大时, 是否无限接近于某一确定的数值?如果是,如何确定?nxn问题2:“无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻划它?1nx? ?1 11nn n?? ?100,N?取,n N?只要1 ;nx? ?有1000,N?取1 ;nx? ?有“无限接近”的自然语言描述:2/7/,n N?,,预先给定误差,找到标志,保证此标志以后,数列的所有项与某定值之差的绝对值小于预先给定误差。如何用数学语言刻划“无限接近”???1nx?1 11nn n?? ?3. 定义说明:(6点)1) 具有任意性,刻画与a的接近程度;?nx a| |?? ?nx2) 具有相对固定性,目的是为了找到满足条件的N,不同的,对应的N一般也不同,即;??N N( )??3/7/, | | .nn N x a?? ??0, 0,N?? ???lim ,nnx a????( ).nx a n? ???2. 数列极限的数学定义:记作:??" "N定义x1x2x2?Nx1?Nx3x?2??a??aa4) ,即当n充分大时,所有的都落在带形域内;a a( , )? ?? ?n nx a a x a| |? ? ?? ??????nx3) 对不同的,只要找到满足条件的N即可,不必要一定找到最小的N,所以,同一个可以有不同的N;??5) 如果数列没有极限,就说数列是发散的;6) .1)1(lim1??????nnnn证明证1?nx1)1(1?????nnnn1?,0??任给,1???nx要,1??n只要,1??n或所以,],1[??N取,时则当Nn???????1)1()1(lim1??????nnnn即取呢?1[ ] 1N?? ?取呢?…...1[ ] 10N?? ?5/7/