文档介绍：矩阵多项式一、矩阵多项式的定义和性质1•(X)=。0八+①兀宀+A+化“兀+5是X的n次多项式,A是方阵,E是与A同阶的单位阵,则称/(A)=a0An+a{An~x+A+an_x\+aQE为由多项式=a^n+⑷兀宀+A+%-図+S形成的矩阵A的多项式。记作/(A)。(z)是复数域上的多项式,>B=T~1AT,贝U”(3)=7^pG4)T若A=diag(人,%,人),则P(A)=diag(p(A),卩(短),…,P(A$))若Ax=Ax,则p(A)x=/?(2)xBP:若入为矩阵A的特征值,则〃(刃为“⑺)的特征值。3•化零多项式设P(z)是复数域上的多项式,A是n阶矩阵,如果p(A)=O,则称P(z)是矩阵A的化零多项式Hamilton-Cayley定理设A是n阶矩阵,f(A)是A的特征多项式,贝IJf(A)二0该定理表明任何方阵的特征多项式是该矩阵的化零多项式最小多项式设A是n阶矩阵,称A的首项系数为1,次数最小的化零多项式为A的最小多项式。例:主对角元为入0的n阶Jordan块J的最小多项式为P(A)=(X-X0)"主对角元为入。的n阶Jordan形J=diag(JbJ2,…,J"的最小多项式为P(X)=(X-Xo)k其中k是J的Jordan块Ji的最大阶数。最小多项式的性质矩阵A的任意化零多项式能被A的最小多项式整除。相似矩阵有相同的最小多项式。矩阵A的特征多项式与最小多项式有相同的根。证明:(1)设肖(几),〃(力分别是矩阵A的最小多项式和化零多项式,由最小多项式的定义可知訓"(几壯决“⑷]利用多项式的带余除法知,存在多项式必汗⑷使得pU)=0(2)q(2)+厂(2) a°[r(2)]<5°[^(1)]由于0(A)=O,p⑷=0,贝ijr(A)=(久)是矩阵a的最小多项式,而a°[r(2)]<a°[i/(l)];因此r(2)=0,即妙⑷P(2)矩阵A的任意化零多项式能被A的最小多项式整除。推论(1) 矩阵A的最小多项式是唯一的。(2) 如果矩阵A的特征多项式无重根,则矩阵A的特征多项式与最小多项式相同。7•矩阵最小多项式的求解定理1设A是n阶复数矩阵,则A的最小多项式加人(力是A的最后一个不变因子血⑷。由定理1可以得到计算矩阵最小多项式的第一种算法,即通过求矩阵的最后一个不变因了'(几),得到矩阵的最小多项式。例1:求A=<-5-12「61314、85丿的最小多项式2+5-1-4解:特征多项式= A——122-3-8•齐阶行列式因子为分别为6-12—5则仏(2)=£>1(2)=1皿2(2)=^^=2一1,〃3(2)=為:卜(2-1)〔"100、于是几(2)=2E_A等价于02-1 -A的不变因子即为A的不变因子.、00伉・1)2丿从而曲定理1知,fAW=^-A的最后一个不变因子U-1)2就是A的最小多项式。即®(2)=(2T)2。由于A是复数域C上的n阶方阵,所以A的特征值都属于C,从而A在复数域C上相似于若当形矩阵八恥g(人⑷,丿2亿),…,人(血沪。所以方法一具有普遍适用性。定理2设A是n阶复数矩阵,则将A的特征多项式心⑺)标准分解式中含有(兄_入X久-君…伉-入)的因式按次数从低到高的顺序进行检测,第一个能零化a多项式就是A的最小多项式。例2:求矩阵A=2-11、011-1 1 L的最小多项式.