文档介绍：机动目录上页下页返回结束第二节定积分在几何学上的应用一平面图形的面积二体积三平面曲线的弧长机动目录上页下页返回结束xyo)(xfy?abxyo)(1xfy?)(2xfy?ab面积:??badxxfA)(面积元素???badxxfxfA)]()([12xxxx??x?:dxxfdA)(?dxxfxfdA)]()([12??面积:1. 【直角坐标情形】机动目录上页下页返回结束下面我们来讨论如何利用定积分来求平面图形的面积,分以下几种情况讨论:。积所围成的平面图形的面上连续在其中轴及、由直线?????badxxfSbaxfxfyxbxax|)(|,)],[)()((,,1???????badxxgxfSbaxgxfxgyxfybxax|)()(|:)],[)(),(()()(,,2为上的连续函数是其中的平面图形面积所围及曲线曲线、由直线???????dcdyyySdcyyyxyxdycy|)()(|)],[)(),(()()(,,3??????上的连续函数是其中的平面图形面积所围及曲线曲线、由直线机动目录上页下页返回结束【解Ⅰ】两曲线的交点)1,1()0,0(?面积元素dxxxdA)(2??选x为积分变量]1,0[?xdxxxA)(210???10333223?????????2xy?2yx??????22xyxy【解Ⅱ】选y为积分变量]1,0[?y面积元素dyyydA)(2??2xy?2yx?dyyyA)(210???10333223?????????【问题】积分变量只能选x 吗?机动目录上页下页返回结束【解】两曲线的交点).9,3(),4,2(),0,0(????????236xyxxy选x为积分变量]3,2[??xdxxxxdA)6(231???],3,0[)2(?xdxxxxdA)6(322???2xy?xxy63??于是所求面积21AAA??dxxxxA)6(2023?????dxxxx)6(3230????.12253?【说明】注意各积分区间上被积函数的形式.],0,2[)1(??x机动目录上页下页返回结束【解】两曲线的交点).4,8(),2,2(????????422xyxy选y为积分变量]4,2[??ydyyydA???????????????dAAxy22?4??xyydyy?22yx?4??yx机动目录上页下页返回结束【说明】本题若选x为积分变量,则如下]2,0[?xdxxxdA)]2(2[1???]8,2[?xdxxxdA)42(2???故??????8220)42(22dxxxdxxA18???xy22?4??xy由此我们看到,积分变量选取适当,?????)()(tytx??曲边梯形的面积.)()(21???ttdtttA?? 直角坐标之参数方程的情形机动目录上页下页返回结束【解】椭圆的参数方程?????tbytaxsincos由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积.??aydxA04???02)cos(sin4tatdbdttab?????),cos1(),sin(tayttax????(a>0),t?[0,2?] 与x轴所围图形的面积A.【例5】求摆线一拱【解】曲边方程为y =f(x),x?[0,2?a],得A=?adxxf20)(?x : 0?2?a?t : 0?2?,则A = ?????2022)coscos21(dttta23a????????2022)cos1(dtta????20)]sin([)cos1(ttadta机动目录上页下页返回结束xo????d??????d?面积元素???ddA2)]([21?曲边扇形的面积.)]([212?????dA??)(???r2、【极坐标情形】【解】由对称性知总面积=4倍第一象限部分面积14AA????daA2cos214402??xy???2cos22a?xy???2cos22a??机动目录上页下页返回结束【解】??dadA22)cos1(21?????d??d2)cos1(?????02212aA???d)coscos21(2?????02a????????????2sin41sin2232a?0