文档介绍：§ 实对称矩阵特征值和特征向量永远可以对角化。实数域上的对称矩阵简称为实对称矩阵。这类矩阵的最大优点是特征值都是实数, 实对称矩阵的特征值都是实数。一、实对称矩阵特征值的性质An0?A0?Tnaaa),,,(21???证明:设是阶实对称矩阵,是矩阵的在复数域上的任一特征值,属于的特征向量为两边取复数共轭得到)0(0??????A则,于是,()?????????000?????????????AAA由于,TTA???0?对最后一式取复数转置,得到?0)(00000?????????????????????TTTTTA两边再右乘,得到02?????T00000????????所以有特征值都是实数。0?0?A这样,是实数。由的任意性,实对称矩阵的特征向量都是实数向量。A附注:进一步地有,实对称矩阵的属于特征值的一、 实对称矩阵的特征值都是实数。对上面第一式两边左乘,的特征向量。A1?2?A1?2?1?2?。证明:特征值的设,是实对称矩阵的不同特征值,,分别是属于特征值,)0(1111??????A)0(2222??????AT2?于是,得到()12112?????TTA?而122122121212)()()(????????????TTTTTTAAA????于是有121???T0)(1221122???????????TT这样,由得到21???012???T2?1?是正交的。,即与特征向量相互正交的线性无关组。A【注】实对称矩阵的属于不同特征值的向量和对应特征向量???????????324202423A121?????TT)0,21(,)2,1,2(?83??T)1,0,1(?在§,例1矩阵是实对称矩阵,特征值(二重)对应特征都正交。把它们化为标准正交组。TT)0,21(,)2,1,2(?当然,彼此不正交,但可以通过标准正交化方法为矩阵。把分块为,,则存在正交阵, ??下面证明对于阶实对称矩阵来说定理成立。A1?n1?nn证明:对矩阵的阶数用数学归纳法。当时,。故不妨设是单位向量,1?A1?1?1111????A1?1?设是的一个特征值,是属于特征值的特征向量,。1Q1?1Q),(011QQ??0Q)1(??nn记是以为其中则????????????????????001001**********),(AQQAQAQAQAQAQQAQQTTTTTTT??????及与的各列向量都正交,111????ATTAA??,111??1?0Q注意到???????????????1**********AAQQAQQT??根据归纳法假设,001AQQAT?1?n1A1?n2Q其中为阶实对称矩阵。使得对存在阶正交矩阵???2122112QAQQAQT),,,(32ndiag????所以并且3123,001QQQQQ????????QQ,3n令,则均为阶正交矩阵,??????????????????????????????211123111**********)(QAQQAQQQAQQ???????????????????????????21**********QAQ??????????212100QAQT?),,,,(321ndiag??????这表明AQQ1?n阶实对称矩阵定理结论成立。为对角矩阵。根据数学归纳法原理,对任意对每个,其中为重的,二、实对称矩阵对角化方法具体步骤如下:,任意一个实对称矩阵都可以对角化。求出的所有特征值,A0)det(??AE?AAm???,,,21?i?innnnnm?????21第一步对给定实对称矩阵,解特征方程,设的所有不同的特征值为;i?0)(??XAEi?iinii???,,,21?),,2,1(mi??第二步解齐次线性方程组求出它的一个基础解系;得到正交向量组,iinii???,,,21?iinii???,,,21?第三步利用施米特正交化方法,把正交化,iinii???,,,21?iinii???,,,21?),,2,1(mi??i?再把单位化,得到一个标准正交组,;注意:它们都是属于的线性无关特征向量!!且111211,,,(nQ?????),,,,,21mmnmm?????Q????AQQAQQT1第四步令,则是正交阵,为对角阵,),,,,,,,,,(2122111???????????????????mnmmnnTdiagAQQAQQ???????????与中正交列向量组(特征向