文档介绍：参数估计
参数估计就是要从样本出发构造一些统计量作为总体某些参数(或数字特征)的估计量。
点估计就是构造统计量。
j=1,2,…n
以的值作为的近似值。对进行估计,叫(点)估计量。若样本值代入称为的估计值。
区间估计是根据样本构造出适当的区间,它以一定的概率包含未知参数。
§ 点估计
(一)矩估计法
在总体的各阶矩存在的条件下,用样本的各阶矩去估计总体相应的各阶矩,又由于总体的分布类型已知,总体的各阶矩可表示为未知参数的已知函数,这样样本的各阶矩就与未知参数的已知函数联系起来,从而得到参数的各阶矩。
=1,2…k
=1,2…k
令=1,2…k
将代入中, =1,2…k
例 2 P159总体X~U[a,b],参数a,b未知,求a,b的矩估计。
例 3 P160
以下为第一版例。
例7:总体X~U[0,b],参数b未知,求b的矩估计。
例8:总体,未知,已知是来自总体X的样本值,求的矩估计。
例9:总体的概率密度为
参数均未知, 是来自总体的样本,求的矩估计。
已知总体的二阶矩存在, 是来自总体的样本值。E(X),D(X)的矩估计是
注意: 此结论用于只要E(x)、D(x)存在的,不论分布是否已知的各类型总体的数字特征E(X)、D(X)的矩估计。
例:总体X~B(N,p), 参数N、0<p<1均未知,已知是来自总体的样本值,求
N,p的矩估计。
(二) 最大似然估计法
最大似然估计法的基本思想
例:设在一个口袋中装有许多白球和黑球,但不知是黑球多还是白球多,只知道两种球的数量之比为1:3就是说抽取到黑球的概率为或。
如果用有放回抽取的方法从口袋中抽取n=3个球,发现有一个是黑球,试判断p=?。
X
0
1
2
3
当时,P(取的三个球中有一个黑球)=
大。选取参数总体较合理。故取p的估计值。
最大似然估计基本思想:根据样本的具体情况,选择参数p的估计,使得该样本发生的概率最大。
设总体的形式已知,参数未知(j=1,2…m), 是来自总体的样本值。
记,选择参数的估计,使样本取值附近的概率
…
=
= 达到最大,
等价使达到最大。
称L=L()=为样本值的似然函数。
=L()在达到最大值,则称分别为的最大似然估计。
(1).当似然函数可微且参数集合是开集的条件下:
总体,
i =1,2…n
L=L()=
取对数
②
③由似然方程解出=?.。讨论是最大值点,则它是的最大似然估计。
例4 P162 ,求未知参数的最大似然估计。
例 5 P163 总体,未知, 已知
是来自总体X的样本值,求的最大似然估计。
例 6 P165 总体X~U[a,b],参数a,b未知, 已知是来自总体的样本值,求b的最大似然估计。
以下为第一版例。
例2:总体=
参数未知, 是来自总体的样本值,求的最大似然估计。
例3:,求未知参数的最大似然估计。[见书P159,]
总体X是离散值,一定要写出X的概率函数。
例4:一个罐子里装有黑球和白球,每次从中随机的有放回地抽取一个球,直到抽到黑球为止。设停止抽球时所需抽取数是X,这样独立重复的进行了n次实验,获得样本
,试求罐子里黑球所占的比例中的最大似然估计。
例5:X服从参数为的威布尔分布,而
=
m>0,>0且未知, 是来自总体的样本值,求参数的最大似然估计。
(2)当似然函数L不可数时,或似然函数无解,要用定义求参数的最大似然估计。
例6:总体X~U[0,b],参数b未知, 已知是来自总体的样本值,求b的最大似然估计。
:
若,未知参数的已知函数为,分别为的最大似然估计,则规定g()为g()的最大似然估计。
例:。
§ 估计量评选标准
:
定义:设()是的估计量,若E()=,对一切,则称为的无偏估计量,否则称为的有偏估计量。其偏差度为= E()-。如果 E()=,则称为的渐近无偏估计量。
书上定义是对g()而言的:
定义:设未知参数的已知函数g()的估计量为,如果对一切都有
则称为的无偏估计量。
例10:设总体有二阶矩,E(X)=,D(X)=存在,是该总体的样本,证明为的无偏估计,
为的无偏估计,但不是的无偏估计,是的渐近无偏估计。
例11:总体X~U[a,b],b>0,试问b的矩估计是否是b的无偏估计量。
注意:
(