文档介绍：第二章度量空间§(或课题):目的要求: 在复****第二章度量空间基本概念前捉下,要求进一步掌握离散度量空间、序列空间、有界函数空间、:复****度量空间的概念设X是个集合,若对于Vx,yeX,都冇唯一确定的实数与之对应,且满足1°d{)>0,d(兀,)‘)二Oox=y;2°d(x,y)5d(x,z)+d(y,z)对Vx,y,zwX都成立, 则称(X,d)为度量空间或距离空间,X中的元索称为点,条件2°=(“兀2,…,百)和1(ny=6'1,)‘2‘…,儿),规定距离为d&,y)二£(兀一儿尸•\/=!丿C[a,b]空间C[a,b]表闭区间[a,b]上实值(或复值)[a9b]1P任意两点x,y,定义d(x,y)=max|x(z)-y(f).a<t<b8lP(lSpV+OO)空间记卩=兀={七}:=1刃切"V8»・设2比}爲,y二{儿}爲丘卩,定义〃(兀y)二£|兀厂几|"丫・\/=1丿度量空间的进一步例子例1设X是任意非空集合,对于Vx,yGX,令d(x,y)二1,当兀Hy;0,当兀=y容易验证1。t/(x,y)>0,J(x,y)=0<=>x=y;2°d(兀,y)<d(兀,z)+d(y,z)对\/兀,)(X,d),在任何非空的集合上总可以定义距离,(或复数列)的全体,对Vx={xk};=1,尸伉启,令忑一儿1+氐_y\(xyy)>0,且d(兀,y)=0ox=(兀,y)满足条件1°・对Vg,Z?wC,先证a+b\1+a+实因令/(/)=—(0<r<+oo),则因为广(/>0,所以函数/(r)=j^y在[o,+00)\a+b\<\a\+\b\,所以有。+方|m问+”|二问*回二问*0|.1+”+ 1+°|+网1+”+\b\1+问+问1+a1+再令z={s}:=],a=xk-zk,b=zk-yk,贝IJa+b=xk-,得无-儿Iv|忑-和*|族-)‘订]+忑_儿1+忑_S S_yk由此推得2°d(兀,y)Sd(x,z)+d(y,z)对gy,(%,y),令B(A)表示A上有界实值(或复值),ygB⑷,定义j(x,y)=sup|x(/)-显然J(x,y)>0,t^A且d(x,y)=0oVfeA成立x(/)=,即d(x,y)满足条件1°•乂sWA,有|X0-y("sM)-z("+|z(r)-y("<sup|x(r)-z(r)|+sup|z(r)-y("teA teA所以sup|x(r)-y(r)|<sup|x(z)-z(z)|+sup|z(z)-y(r)|.即d(x,y)满足条teA teA teA件2°.特别当A=[a,b]时,B⑷二脈上]・例4可测函数空间M(X)设M(X)为X上实值(或复值)的Lebesgue可测函数的全体,加为Lebesgue测度,若m(X)<oo,对任意两个可测函数/(”及g(f),由于1+岸)-(/,g)二dm若把M(X)屮两个几乎处处相等的函数视为M(X)中同一个元素,则d(/,g)no且d(/,g)二oOf=g,即d(/,g)满足条件1°.其次(参考例2)j仃亠「/rf\f~h\ . \h~^\L-心小[丽)顶rwi〔帀可+邛刁户_If/? h)fS~\dm+f1~gdm=6/(/,A)+J(/i,g),对VAg,gM(X)都I+|y-h \+h-(/,g)满足条件2°.故M(X)按上述距离d(/,g)•利用亠当x>+x§(1)度量空间中的极限教学内容(或课题):目的要求:掌握一般的度量空间中的邻域、内点、外点、界点、导集、闭包、开集、闭集、收敛点列等概念,:设(X,d)为度量空间,d是距离,定义B(兀°,可二{兀eX\d(x,x0)<计为心的以£为半径的开球,亦称为兀()的£(X,d)是离散的度量空间,d是距离,则当0<^<1;当£>1仿§2・2-§2・3,设E是度量空间(X,d)屮的一个子集,兀。是X屮一点若存在X。的某一邻域t/(x0),(x°)uE,。是CE的内点,则称兀。/(x0)内既有E的点又冇非E的点,贝I」称无)/(x0)内都含冇无穷多个屈于E的点,则称看)为E的聚点