文档介绍：平均值不等式解题技巧与策略湖南省衡阳县五屮 陈胜湖南祁东育贤中学周友良题根已知ci,b,c,d都是正数,求证(ab+cd)(ac+bd)A4abcd[题根]已知 都是正数,求证(ab+cd)(«c+bd)>4abcd[思路]1)平均值不等式巴也2J亦(当且仅当a=b时収号)22)需两次利用平均值不等式,要使得此不等式等号成立,需两次取等号的条件一致或同时成立。即ab=cd且同时减立. 即a-b-c-d时成立。[破解]:山o,b,c,d都是正数,得:ab+cd、r-r—-aac+bd、/_—n(ab+cd)(ac+bd)2 4即有(ab+ )(qc+bd)X4abcd[收获]1)多次运用平均值不等式,要使得不等式筹号成立,需这几次収等号的条件-•致、相同或同吋成立。2)利用不等式的同向相乘性质吋,需保证不等式两边同吋为正。第1变变结构,创造基本不等式“、三相等”的条件证不等式。| 4Q[变题1]设xyzWR'且x+y+z=l求证:~ ~ ~ 9[思路]从左到右事实上是求和式;+-+T的最小值,需变式出现积为疋值的情况,Iflj条件中是和为定值x+y+z=l,所以对待证式的左边需变形出现积为定值的情况。[破解]证法一:巧用1代换4 9x+y+z4(x+y+z) 9(x+y+z)x+y+z-x+y+zy4xz9x4z9y=14+(上+—)+(-+—)+(—+亠)、xy7vxz丿'yz7$14+4+6+12=36当且仅当工竺,普丰竺,x+y+z=:分式代换法令x=—匀—y=—4-如+迦+巧' a】+a2+a3细3|+82+83a】+a2+a3 4(ai+a2+a3) 9(ai+a2+a3)++ai a2 a3=14+(绥+宀+宀斗(斗电aia2aia37a2a3±14+4+6+12=36当且仅当……:Tx+y+z=l•丄X49 1+一+一=-1=(-+mx)+(4 9一+my)+(一+mz)-mv /I 4当且仅当]=mx,-=my,9—=mzzmx+my+mz=m,(m>0)1 2 3时取等号即x=r-,y=/— ,z=/—\m\m\m代入x+y+z=l解得m=36+4y[m+6y[m-m=36・[收获]rti于不等式是分式形式,上述三种证明方法都是巧用1作代换,构造倒数关系,使乘积为定值,从而取得最值.[请你试试2—1]1:设a>0,b>0,求证:-^=+-^=>7a+VboJbJa解题思路分析:法一:比差法,当不等式是代数不等式时,常用比差法,比差法的三步骤即为函数单调性证明的步骤。左-右二是+芈-临-品=型+罟=(a-b)4—¥)=(a—b)^^VbQa vbJa QbQa Jab・•・左$右法二:基本不等式根据不等号的方向应口左向右进行缩小,为了出现右边的整式形式,用配方的技巧。Vb22-/abVa22Vb・・・两式相加得:2+2$需+,b,c为正实数,a+b+c=:(l)a2+fr2+c2^—3⑵』3ci+2+J3b+2+J3c+2W6解:.(1)证法一:cT+l^+c1——=—(3a2+3/?2+3c2—1)3=—[3a1+3b2+3c2—(a+b+c)2]3二丄[3/+3庆+3/—/—沪―2肋—2ac—2〃c]3=—[(a—b)?+(b—c『+(c—a)?]+b2+c2^—3 3证法二:*.*(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc^a2+b2+c2+a2+b2+a2+c2+b2+c23(a2+b2+c2)^(a+b+c)2=1 »\a2+b2+c2^—3证法三:・・・f'2> :.a2+b\c2^耳严.\a2+b2+c2^—3证法四:设a二丄+a,b=-+£,c=-+ 3 3Ta+b+c=1,a+0+/=0・・・a+b2+c2=(丄+a)2+(丄+0)2+(-+r)23 3 3io=-+-((r+fi+y)+a\fi2+r23 31 2门2 1=—++厂3—3 3⑵证法_:』3a+2=J(3a+2)x1<%+?+同理j3b+2v竺2a/3c+2<2?.如+2+』3b+2+j3c+2<3("+"+c)+9=62・••+2+J3b+2+J3c+2</(3a+2)+(3方+2)+(3c+2)i 3 _V 33(d+b+c)+63(3a+24-J3b+2+J3c+2W3-^3V6・••,总是相约到一家小铺里买两次白糖,假设白糖的价格是变化的,而他们购买的方式不一样,卬每次买1T克,乙每次买1元钱的白糖,试问两种买糖的方式哪一种更合算?解:设甲乙二人两次买每T•克白糖的价格分别为m,n元则甲花去m+n元,买了2千克糖,平均每千克价格为号元;乙