文档介绍：§--有限域1有限域(Galois域)定义:只有有限个元素的域称为有限域,或Galois域。设F是一个有限域,则1)F的特征不可能是0;2)F的特征为质数p,以RP为其最小子域。设F为q元域,则F中q-1个非0元素在乘法下作成一个q-1元群,因而都适合方程 xq-1=1。由此知,F中q-1个非零元素都是多项式xq-1-1的根,F中q个元素都是多项式xq-x的根。--有限域2F中的q-1个非0元素恰是所有q-1次单位根,而F的所有q个元素恰是多项式xq-x的所有的根。证明:多项式xq-1-1最多只能有q-1个根。 但F的非0元素已经是它的q-1个不同的根,所以F的非0元素恰是xq-1-1的所有的根,因而也就是所有的q-1次单位根。 类似地可以说明F的所有元素恰是xq-x的所有的根。--有限域3结论:特征p必不能整除q-1。证明:(反证)否则(xq-1-1)’=(q-1)xq-2=0,因而 xq-1-1有重根,。-1个非0元素在乘法下作成一个q-1元循环群,其(q-1)个生成元素恰是Φq-1(x)的所有的根。证明:F既然包含xq-1-1所有的根,自然也包含Φq-1(x)的根,(,并设Φn(x)在F中有根。于是,F中恰有n个n次单位根,它们在乘法下作成一个n元循环群,其(n)个生成元素恰是Φn(x)的所有的根。),可知该定理成立。--有限域4R3={0,1,2}上的所有复数a+bi(a,bR3)作成的集合F在复数的加、乘下作成一个域。F={0+0i,0+1i,0+2i,1+0i,1+1i,1+2i,2+0i,2+1i,2+2i}域的特征p=3,元数q=9。则 F中的q-1=8个非0元素是所有q-1=8次单位根: (1+2i)8=(1+2i)9/(1+2i)=(1+(2i)9)/(1+2i)=(1+2i)/(1+2i)=1 因为x8-1=Φ8(x)Φ4(x)Φ2(x)Φ1(x),x4-1=Φ4(x)Φ2(x)Φ1(x),所以, Φ8(x)=x4+1。例:--有限域5ψ(x)=x2+x+2为Φ8(x)在R3上的一个二次质因式。 Φ8(x)在R3上若可约,则可分为一次质因式或二次质因式,但0,1,2都不是Φ8(x)的根,因此Φ8(x)只能分解为两个二次质因式的乘积。 用待定系数法,不妨设 Φ8(x)=x4+1=(x2+ax+b)(x2+cx+d)=x4+(a+c)x3+(d+ac+b)x2+(ad+bc)x+bd 比较系数,解出a=1,b=2,c=2,d=2(a=2,b=2,c=1,d=2) 因此,Φ8(x)=x4+1=(x2+x+2)(x2+2x+2) 故ψ(x)=x2+x+2为Φ8(x)在R3上的一个二次质因式(0,1,2都不是ψ(x)的根)。--有限域6ξ=1+i为ψ(x)在F中的一个根: (1+i)2+(1+i)+2=0,,ξ是本原8次单位根,且F中所有非零元素可以表示为ξ的若干次方: ξ0=1,ξ1=1+i, ξ2=(1+i)2=1+2i+i2=2i=2(i+1)+1=2ξ+1 ξ3=(1+i)3=1+i3=1-i=1+2i=2(i+1)+2=2ξ+2 ξ4=ξ3ξ=(1-i)(1+i)=2 ξ5=ξ4ξ=2(1+i)=2ξ ξ6=ξ4ξ2=2(2i)=i=(i+1)+2=ξ+2 ξ7=ξ6ξ=i(i+1)=i-1=i+2=(i+1)+1=ξ+1 可见,F中的任意元素可以表为a0+a1ξ(a0,a1∈R3)--有限域7设F是q元有限域,特征为p,设ψ(x)为 Φq-1(x)在Rp[x]中的一个n次质式,ξ是ψ(x)在F中的一个根。 于是,F中的任意元素α可以唯一地表为a0+a1ξ+a2ξ2+…+an-1ξn-1 的形式,其中a0,a1,…an-1∈Rp。证明:规定Rp[x]到F的一个映射σ如下:ƒ(x)→ƒ(ξ)--有限