文档介绍：{極限與連續}題型1:極限的嚴格證明(依定義)-一次方或負次方用倒證法既非一次方亦非負次方請愛用先聲奪人法PS此定義適用在函數連續的証明表示唯獨函數連續的自變數範圍包含0(故通常不寫)詳細內容:(1)方法:極限的嚴格證明:走定義一次方或負次方,使用倒證法;其他次方則使用先聲奪人法.(2)補充:先聲奪人時取δ=min{1,1/nε}求出n令拉弓長度小於1(δ<1)並小於n分之ㄧ倍的打靶誤差(δ<1/nε)(3)極限的嚴格定義:對於所有的打靶誤差(ε>0)存在其所對應之拉弓長度(δ>0)使得當x趨近於a時(0<|x-a|<δ)打靶結果f(x)會趨近於L恆成立(0<|f(x)-L|<ε)←→f(x)取極限會趨近於L(若且唯若)題型2:夾擠定理(三明治定理)-給定的正項級數當中的每一項,必大於其最小項ˋ小於其最大項,然後相加總可得給定函數的範圍,可供夾擠[口訣]老大老三皆如此,老二必然也如此[口訣]極限問題若遇障礙必用夾擠!(極限的***手鐧定理)PS:對照題型27題型3:無窮極限(變數趨近於無限大)的速解法--相除型比較最大項係數根式相減型比較次大項題型4:三角極限的速算法--:高斯(狗屎)型極限-:多變數函數的極限-取不同路徑(非齊次)ˋ極座標轉換(齊次函數)ˋ夾擠定理(或速算法)題型7:含絕對值之極限--直接帶入有解就是答案,無解(或無意義)則利用左右極限逼近之若左右極限相等則極限值存在題型8:中間值定理(.)--即牛頓的堪根定理函數值異號表示區間內有一實根應用在不動點(固定點)定理的証明ˋ函數之間交點的証明[步驟](X)=f(x)-g(x)(X)=f(x)-g(x)=0移項:f(x)=g(x)則函數交會![]一正一負必有根根者有其零題型9:漸進線--[垂直漸進線]:當函數存在不連續時(如分母=0)或(無窮)極限趨近於正負無限大![水平漸進線]當x趨近於正負無限大而y趨近於一定值時(y=定值即為所求)或無窮極限分母次方數大於等於分子次方數(大於時趨近於0ˋ等於時比較最大項係數)時有之[斜漸進線]當函數分子比分母恰恰大一次方時有之(此時帶公式[口訣]取無窮極限先斜再截先除後減)(斜截式:y=mx+k)題型10:連續函數-函數連續有3要件需同時符合1)函數在x=a時有定義2)極限值存在3)函數值=極限值----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------{微分}題型11:函數的可微性-函數若可微同時符合1)連續[口訣]左極限等於右極限2)[口訣]左導數=右導數PS:嚴格說起來還要函數值=極限值題型12:微分的原始定義-[口訣]微分就是...退化後的...前進分之上升!原始幾何公式有時用在計算;而原始計算公式除了計算孤立點的微分有時也輔助證明題題型13:分段點的極限與可微性(連續)--[極限口訣]:左極限=右極限則極限存在(或分段點連續)(連續不一定可微)[連續口訣]:左導數=右導數則一階導數存在而函數可微(可微則一定連續)PS:分斷點的函數範圍通常包含等號但函數微分後的導數範圍記得去掉等號!題型14孤立點的連續與微分-[連續口訣]:求函數值=求極限值[微分方法]求一階導數值熟記微分的原始計算定義(台大最愛考!)題型15:微分的連鎖律(ChainRule)--[洋蔥型(合成函數基本型)口訣]先微外面(裡面照抄),再微裡面(然後相乘);由外而內,抽絲剝繭[一條龍型(相乘型)口訣]上下照抄,中間相消[分岔龍型(相除型)口訣]上下照抄,他媽的(分母)相消題型16:多變數函數(隱函數)的微分--包括求偏導數(partialderivative)ˋ隱函數定理(特別是求過一曲線的切線斜率)的使用注意!一階隱函數用隱函數定理較快(包括求切線方程式),但二階隱函數絕對不行連續使用隱函數定理兩次!!Why?(隱含數定理壓根兒沒有推廣到n次)二階隱函數微分之四重奏(也適用於一階隱函數,一階只有三重奏)[一部曲]將y視為x的可微函數[二部曲]將等號兩邊分別對x作微分(即x微掉遇微y時寫成y'得到的y'先留著等一下代入第三部曲)[三部曲]同樣的方法將步驟二得到的方程式再微一次,x微掉,遇到y的微分=y'而