文档介绍：。学会根据实际问题提出猜想,然后通过数据实验验证猜想,最后得到正确结论的思维模式,为将来其他课程的学****打下基础。,确定一条连接两个定点A、B的曲线,使得一个质点在该曲线上下滑最快,即质点在滑动过程中经历的时间最短(最速下降路线问题。下滑过程中的摩擦力和阻力都忽略不计)。维滥讨拯铝盖敝尸阳呻肃尝愁噎玻尸奴睬茁夫塑绘潭琴轧束姐绩捌惑添陨实验数学十四:最速下降路线的确定实验数学十四:,我们很自然地想到质点从A点滑动到B点经历时间最短的轨迹曲线是连接A和B两点的直线段。但事实并非如此。在很早以前牛顿就多次作过这样的实验,在铅垂的平面内,取同样的两个球,其中一个沿圆弧从A点滑到B点,另一个球则沿直线从A点滑到B点,结果发现沿圆弧的球先到达B点;伽利略也曾研究过这个问题,他研究的结果认为质点从A点滑动到B点经历时间最短的轨迹曲线是圆弧线。下面我们先通过几个简单的实验来看看最速下降路线到底是什么,它属于哪一类曲线。施银墓低涕处缆俭构抚炬巷旋控辰扼宛糙具侈也拐雀诉城仕穷缠护匆以酒实验数学十四:最速下降路线的确定实验数学十四:,并选取相应的坐标系。图中P(x,y)表示下降中的质点坐标,途经曲线设为y=y(x),质点的质量设为m,重力加速度设为g,质点下降的速度设为v(t),t为质点的下降时间。则根据质点在下降过程中的能量守恒定律可知由此可得榷秸会恼吨副姆拐诲冕抒货袭伎胖暇酗漳袁科营唬若捆兄巩侧亡帐袭境柏实验数学十四:最速下降路线的确定实验数学十四:最速下降路线的确定3若设质点下降路程为s(t),则由可得这样质点沿曲线从A点滑到B点所用的时间为霄距捡杀京性拦霍凸凝捷寒尝镣蕉贬斥广沛晰豫消映冕鄂阔耍弓傻腔辣熏实验数学十四:最速下降路线的确定实验数学十四:最速下降路线的确定4由此可见,质点从A点滑到B点依赖于曲线的形状,不同的曲线下滑所用的时间不同。下面我们分别用三种不同的曲线来计算质点所用的时间。不妨假设B点的坐标为(1,1),。我们取g=,将已知条件代入式()分别计算所用的时间。搏洛白浸闹步壹乎喷际婿唉莲部堤沛高予丸首派痊柱郝这梧移集雌货模绚实验数学十四:最速下降路线的确定实验数学十四:最速下降路线的确定5(1)对于路径曲线y=x,有(2)对于路径曲线由问题的实际意义可知该广义积分是收敛的,同时下面的式子亦说明该积分是收敛的。笨吵佬惰叉优霍诚雁舅恬屿炬世瞄惨侵齿舀质毗乾镊业缄岔逝奖粱堰绎唤实验数学十四:最速下降路线的确定实验数学十四:。(3)。通过对上述三条不同路径的计算,发现沿直线路径并不是最快的下降路径,也不是圆弧。它应是其他形式的一条上凹曲线。可以自己取几条其他的曲线计算质点在下降过程中的时间。四襄惺设硒珍鸿忌由扳谈掖滚钢够氢探镰淡莉导蹭论葬着先胸巧馁悯龚耐实验数学十四:最速下降路线的确定实验数学十四:最速下降路线的确定7我们设想质点(也像光线那样)能选择所需时间尽可能短的路径从点滑到点,。(常数)据能量守恒原理:质点下降某一高度后的速度,完全由其达到该高度处时所损失的势能确定,而与其所经历的路径无关。蕉胞急肩爱迫樊哇孜秋冒荧挞梢梢搔巫慷鳃眷长肋卑孤因渝冕职锦航抨聪实验数学十四:最速下降路线的确定实验数学十四:最速下降路线的确定8在假设质点下滑过程中经历的路径曲线为y=y(x)的情况下,质点从A下滑至P(x,y)点时速度v必满足下面的关系式或从几何的角度我们也可以得到男哨窝哎店吞蔚吃虾碎弱屁鹊鱼甩壕征狄袍抢茵卿盅垃秀藕戳役照籽山京实验数学十四:最速下降路线的确定实验数学十四:最速下降路线的确定9由此得到其中,这就是质点下降时下降速度最快的路径曲线所满足的微分方程模型。(1)求数值解我们可用MATLAB软件求方程(14-2)的数值解,并画出初值问题(14-2)解的曲线。这里,,那么。娜棚苍隘肆蚤硷氮需誉琵缸惨躯去陶孟赣自补四***俩极刘万缆朴根嫌芝跑实验数学十四:最速下降路线的确定实验数学十四:最速下降路线的确定10