文档介绍：平面的法向量在立体几何中的作用江苏省溧阳市埭头中学胡云飞《全日制普通高级中学(试验修订本·必修)数学第二册(下B)》第九章“直线、平面、简单几何体(以下简称九B)”,在平面向量的基础上引进了空间向量,整章知识围绕空间向量进行编排。教材在“空间向量的坐标运算”这一节结束时引入了平面的法向量:如果表示向量的有向线段所在直线垂直于平面,那么向量叫做平面的法向量。但教材对法向量的描述仅此而已,课本例****题中都没有涉及法向量,那么教材引入法向量的用意何在?同时大纲要求“理解平面的法向量”又是何意?下面笔者浅谈在教学中的摸索与体会。一、平面的法向量在处理“角的问题”中的作用平面的法向量在处理“线面角”中的作用如图,设平面的法向量为,直线AB与所成的角为,向量与所成的角为,则与分别有下列关系:由此可知:直线与平面所成的角等于直线所在向量与平面的法向量夹角的余角或直线所在向量与平面法向量夹角的补角的余角,但不管那一种,总有,由此可以计算直线与平面所成的角。平面的法向量在处理“二面角”中的作用如图,二面角两个半平面的法向量分别为、,、的夹角为,二面角的平面角为,则与的关系分别如下:=π-===π-由此可知:二面角的平面角等于法向量的夹角或等于法向量夹角的补角,因此,我们可以通过求法向量的夹角来求二面角的大小。例1已知棱长为的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别是BC、A1D1的中点求AD与B1EF平面所成的角求二面角B1-EF-B的大小解:(1)如图建立坐标系,由已知,得A(,0,0)B(,,0)D(0,0,0)B1(,,)E(,,0)F(,0,)=(-,0,0)BE=(-,0,-)B1F=(-,-,0)设平面B1EF的法向量为=(x,y,z)则-x-z=0-x-y=0 ﹒B1E=0 ﹒B1F=0即 (*)x=-2y=1z=1取即=(-2,1,1)(注:某一平面的法向量有无数个,只要找到一个就可以了,因此只需找出方程组(*)的一组解即可)设AD与平面B1EF所成的角为,得sin=即AD与平面B1EF所成的角为arcsin(2)同法可找到平面B1EF的法向量为=(0,1,1)故二面角B1-EF-B的大小为说明:若找到平面B1EF的法向量为得,这时的夹角为钝角,观察图形知B1-EF-B为锐角,因而二面角B1-EF-B的大小仍为另外,通过证明直线所在向量与平面的法向量所在的角为0°或180°,可证直线与平面垂直;通过证直线所在向量与平面的法向量垂直(直线不在平面内)证明线面平行;通过证两平面的法向量垂直证明面面垂直,这些都属于使用“平面的法向量”处理“角的问题”的特殊情况。二、平面的法向量在处理“距离问题”中的作用如图,A为平面外的一点,要求点A到平面的距离,其实只要求向量(C为平面内任意一点)在平面的法向量上的投影的绝对值,因此,距离例2平行四边形ABCD中,已知AB=AC与BD相交于E点,∠A=60°,将⊿ABD沿对角线BD折成直二面角A1-BD-C,求点B到平面A1CE的距离。解:由题设AD=∠A=60°,知∠ABD=90°,Rt⊿ABD沿对角线BD翻折后,得到直二面角A1-BD-C,故A1B⊥平面DBC以点B为坐标原点O,以直线BD,BA,BA1分别为轴建立空间直角坐标系O-(见图),则平面A1CE的法向量为我们再来看今年高考(江苏卷)第19题:如图,在直三