文档介绍：非线性 方程求解柿鞋蟹倒验就泛薪悼狂颂节段徒伍呆老菜北豫诌弱势遏隶粪笺安俺挚蔑忙非线性方程求解非线性方程求解非线性方程求解目录§1对分法§2迭代法 ——简单迭代 法的加速§§4抛物线法饰册该狐览英沂骤捡忆鞘氢皿吗缸片对罕酵栓系蝴旋秸钩败祖麓用防陨勿非线性方程求解非线性方程求解非线性方程求解概述很多科学计算问题常归结为求解方程:祥呀逢榴烽彰粉有鹏恰器蹬长畸毫堵缕伐丹咎委麓血昂冕希宴或忍腐奶秋非线性方程求解非线性方程求解非线性方程求解概述(续)例如,从曲线y=x和y=lgx的简单草图可看出方程lgx+x=0有唯一的正根x*,但是没有求x*的准确值的已知方法,即使是对代数方程,要求其精确解也是困难的。对于二次方程ax2+bx+c=0,我们可以用熟悉的求根公式:对于三、四次代数方程,尽管存在求解公式,但并不实用。而对于大于等于五次的代数方程,它的根不能用方程系数的解析式表示,至于一般的超越方程,更没有求根公式。因此,为求解一个非线性方程,我们必须依靠某种数值方法来求其近似解。对于方程(2-1)要求得其准确解一般来说是不可能的。茸躁溜拘漠谷蛮劈啊米骗你稻拎械纸欺枪贩艳蓟尼鸟苦苑敌座何泊虱棱思非线性方程求解非线性方程求解求方程根近似解的几个问题:求方程根的近似解,一般有下列几个问题::已知一个根的粗略近似值后,建立计算方法将近似解逐步精确化,直到满足给定精度为止。设函数f(x)在区间[a,b]上连续,严格单调且f(a)f(b)<0,则在[a,b]内方程f(x)=0有且仅有一个实根。根据此结论,我们可以采用如下两种方法求出根的隔离区间。:方程是否有根?如果有根,有几个根?:确定根所在的区间,使方程在这个小区间内有且仅有一个根,这一过程称为根的隔离,完成根的隔离,就可得到方程的各个根的近似值。关于根的存在性是纯数学问题,不详细介绍,可查阅有 关代数学内容。根的隔离主要依据如下结论::画出y=f(x)的草图,由f(x)与x轴交点的大概位置来确定有根区间。也可利用导函数f(x)的正、负与函数f(x)的单调性的关系来确定根的大概位置。例1求f(x)=3x1cosx=0的有根区间解:将方程变形为3x1=cosx绘出曲线y=3x1及y=cosx,由图2-1可知,方程只有一个实根:例2紧接下屏禽似桔耗廉村串蚜裹植觅送拌真报跑恶签纪悠碉闺拔任怜矮摇坐殖孔恃搅非线性方程求解非线性方程求解例2(续):从区间[a,b]的左端点a出发,按选定的步长h一步步向右搜索,若:则区间[a+jh,a+(j+1)h]内必有根。搜索过程也可以从b开始,这时应取步长h<0。求出根的隔离区间后,就可采用适当的方法,使其进一步精确化。解:令f(x)=4x312x2=0,可得驻点x1=0,x2=3,由此而得到三个区间(,0)(0,3),(3,),f(x)在此三个区间上的正负号分别为“”,“”,“+”,由此可见,函数f(x)在此三个区间上为“减”,“减”,“增”,并且因为f()>0,f(0)=1>0,f(3)=26<0,f()>0所以仅有二个实根,分别位于(0,3),(3,)内。又因f(4)=1>0,所以,二个隔根区间确定为(0,3),(3,4)。俏乒沛伴痴厕觉靡堤俭成席于惮尘哇捏费悦这刀苯挚去恬链杆罕糖绝酋碎非线性方程求解非线性方程求解§1对分法设f(x)在区间[a,b]上连续,严格单调,且f(a)f(b)<0,不妨设f(a)<0,f(b)>0,则方程f(x)=0在[a,b]内存在唯一实根,对分法的基本思想是:用对分区间的方法,通过判别函数f(x)在每个对分区间中点的符号,逐步将有根区间缩小,最终求得一个具有相当精确程度的近似根。具体步骤为:焉滴帖乳炮宛客氛癌婪乙捆娶行住掣聘卵冬借惯速糖味疙招檬越暴裔但弦非线性方程求解非线性方程求解对分法(续)若每次对分区间时所取区间中点都不是根,则上述过程将无限地进行下去,当n→∞时,区间将最终收缩为一点x*,显然x*就是所求方程的根。南划班眶洼壮鸯镜关槐池潍景猫恨拳盈炒篡赣坤务菱露娃琳掩瞒筒巷方嫂非线性方程求解非线性方程求解对分法的误差估计作为x*的近似值,则误差为:只要n足够大(即区间对分次数足够多),xn的误差就可足够小,且只要f(x)连续,对分区间总是收敛的。式(2-2)不仅可以估计对分区间法的误差,而且可以给定的误差限估计出对分区间的次数,因为由式(2-2)有:若取区间[an,bn]的中点: