文档介绍：2014年全国硕士研究生入学考试数学一试题
一、选择题:18小题, 每小题4分,, 只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.
(1) 下列曲线有渐近线的是( )
(A) (B) (C) (D)
(2) 设函数具有二阶导数,,则在区间上( )
(A) 当时, (B) 当时,
(C) 当时, (D) 当时,
(3) 设是连续函数,则( )
(A)
(B)
(C)
(D)
(4) 若,则
( )
(A) (B) (C) (D)
(5) 行列式( )
(A) (B) (C) (D)
(6) 设均为三维向量,则对任意常数,向量组,线性无关是向量组线性无关的( )
(A)必要非充分条件(B)充分非必要条件
(C)充分必要条件(D)既非充分也非必要条件
(7) 设随机事件与相互独立,且,,则( )
(A) (B) (C) (D)
(8) 设连续性随机变量与相互独立,且方差均存在,与的概率密度分别为与
,随机变量的概率密度为,随机变量,则
( )
(A) , (B) ,
(C) , (D) ,
二、填空题:914小题,每小题4分,.
(9) 曲面在点处的切平面方程为__________.
(10) 设是周期为的可导奇函数,且,则_________.
(11) 微分方程满足条件的解为__________.
(12) 设是柱面与平面的交线,从轴正向往轴负向看去为逆时针方向,则曲线积分__________.
(13) 设二次型的负惯性指数是1,则的取值范围
_________.
(14) 设总体的概率密度为其中是未知参数, 为来自总体的简单样本,若,则_________.
三、解答题:15~23小题,、证明过程或演算步骤.
(15) (本题满分10分)求极限
(16)(本题满分10分)设函数由方程确定,求的极值.
(17)(本题满分10分)设函数具有二阶连续导数,
满足若,求的表达式.
(18)(本题满分10分)设为曲面的上侧,计算曲面积分
.
(19)(本题满分10分)设数列满足,,,
且级数收敛.
(Ⅰ)证明:. (II) 证明:级数收敛.
(20)(本题满分11分) 设矩阵,为三阶单位矩阵.
(I)求方程组的一个基础解系; (II)求满足的所有矩阵.
(21)(本题满分11分)证明阶矩阵与相似.
(22)(本题满分11分)设随机变量的概率分布为在给定
的条件下,随机变量服从均匀分布.
(I)求的分布函数; (II)求.
(23)(本题满分11 分)设总体的分布函数为其中是未知参数
.
(I)求,; (II)求的最大似然估计量;
(III)是否存在实数,使得对任何,都有?
2014年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题答案及解析
选择题:
(1)【解析】关于C选项:,又
,所以存在斜渐近线. 【答案】(C)
(2)【解析】令,则,
,.
若,则,在上为凸的.
又,所以当时,,从而.【答案】(D)
(3)【解析】
.【答案】(D)
(4)【解析】
, 当时,积分最小. 【答案】(A)
(5)【解析】由行列式的展开定理展开第一列
.【答案】(B)
(6)【解析】.
记,,. 若线性无关,则,故线性无关.
举反例. 令,则线性无关,但此时却线性相关.
综上,对任意,向量线性无关是向量线性无关的必要非充分条件.【答案】(A)
(7)【解析】已知,与独立,,
, 则,
则.【答案】(B)
(8)【解析】用特殊值法. 不妨设,相互独立.
,.
,.
. 【答案】(D)
二、填空题:
(9)【解析】由于,所以
,;
,.
所以,曲面在点处的法向量为.
故切平面方程为,即. 【答案】
(10)【解析】由于,,所以,.
又为奇函数,,代入表达式得,故,.
是以为周期的奇函数,故. 【答案】
(11)【解析】.
令,则,,代入原方程得
分离变量得,,两边积分可得
,即.
故. 代入初值条件,可得,即.
由上,方程的解为. 【答案】
(12)【解析】由斯托克斯公式,得
,其中.【答案】
(13)【解析】配方法:
由于二次型负惯性指数为1,所以,故. 【答案】
(14)【解析】,
,. 【答案】
三、解答题:
(15)【解析】
.
(16)【解析】对方程两边直接求导: ①
令为极值点