文档介绍：韩山师范学院2011年专升本插班生考试样卷
数学与应用数学专业数学分析
一、填空题(每小题2分,共30分):
1. 设函数连续,则在上.
2. .
3. 设函数在上连续,则.
4. 判别非正常积分的敛散性: 发散.(收敛、发散)
5. 的单调递减区间为.
6. 函数的极值点为.
7. 函数定义域为.
8. 二重积分(其中)的值为.
9. 设,则.
10..
11. 设,则的内部.
12. 设,.则.
13. 广义球坐标变换的雅可比行列式.
14. 幂级数的收敛域为.
15. 设,则.
二、设,满足: ,,,证明:收敛,
并求.(10分)
证:∵,(),
,(),
∴数列单调递减且有下界,从而收敛.
设,则有,即有,解得.
三、证明不等式:当时,.(8分)
证:已知,当时,有不等式.
1)设,有.
当时,,从而在严格增加且在连续,
又,于是当时,有,即.
2)设,有.
当时,,从而在严格增加且在连续,
又,于是当时,有,即.
四、计算题(每小题6分,共12分)
1. 设,求;
解:.
2. .
解:由定义,
;
;
于是,.
五、应用柯西准则判别级数的敛散性.(8分)
证:设,有

,
于是,,,,,都有
.
由柯西准则,级数收敛.
六、证明函数在点的偏导数存在,但在此点
不可微.(8分)
证:由定义,点的两个偏导数分别是
;
.
假设在点可微, 则有,
又, ,
特别取,有,与可微定义矛盾.
故在原点不可微.
七、设在上连续,在上可积,且,则在上至少存在
一点,使得.(8分)
证:由于在上连续,因此存在最大值与最小值,使得
,
又在上可积,且,于是有
,
且,,都在上可积.
由积分