文档介绍：第25讲立体几何与空间向量(理)、线、面空间位置关系设直线l的方向向量为a=(a1,b1,c1).平面α,β的法向量分别为u=(a2,b2,c2),v=(a3,b3,c3).(1)线面平行:l∥α⇔a⊥u⇔a·u=0⇔a1a2+b1b2+c1c2=0.(2)线面垂直:l⊥α⇔a∥u⇔a=ku⇔a1=ka2,b1=kb2,c1=kc2.(3)面面平行:α∥β⇔u∥v⇔u=kv⇔a2=ka3,b2=kb3,c2=kc3.(4)面面垂直:α⊥β⇔u⊥v⇔u·v=0⇔a2a3+b2b3+c2c3=(1)异面直线所成的角设a,b分别是两异面直线l1,l2的方向向量,则(2)直线与平面所成的角设直线l的方向向量为a,平面α的法向量为n,直线l与平面α所成的角为θ,则(3)二面角如图①,AB,CD是二面角α-l-β的两个面内与棱l垂直的直线,则二面角的大小如图②③,n1,n2分别是二面角α,β的两个半平面α,β的法向量,则二面角的大小θ满足|cosθ|=|cos<n1,n2>|,二面角的平面角大小是向量n1与n2的夹角(或其补角).题型一利用空间向量证明空间位置关系【例1】如图所示,在底面是矩形的四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,E,F分别是PC,PD的中点,PA=AB=1,BC=2.(1)求证:EF∥平面PAB;(2)求证:平面PAD⊥平面PDC.【证明】以A为坐标原点,AB,AD,AP所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,2,0),D(0,2,0),P(0,0,1),即EF∥⊂平面PAB,EF⊄平面PAB,所以EF∥∩AD=A,AP⊂平面PAD,AD⊂平面PAD,所以DC⊥⊂平面PDC,所以平面PAD⊥平面PDC.【规律方法】向量法证明平行与垂直的步骤(1)建立空间直角坐标系,建系时,要尽可能地利用载体中的垂直关系;(2)建立空间图形与空间向量之间的关系,用空间向量表示出问题中所涉及的点、直线、平面的要素;(3)通过空间向量的运算求出平面向量或法向量,再研究平行、垂直关系;(4)-A1B1C1中,∠ABC=90°,BC=1=4,点E在线段BB1上,且EB1=1,D,F,1,C1B1,:(1)B1D⊥平面ABD;(2)平面EGF∥:(1)以B为坐标原点,BA,BC,BB1所在的直线分别为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系B-xyz,则B(0,0,0),D(0,2,2),B1(0,0,4),设BA=a,则A(a,0,0),即B1D⊥BA,B1D⊥∩BD=B,BA⊂平面ABD,BD⊂平面ABD,因此B1D⊥⊥EG,B1D⊥∩EF=E,EG⊂平面EGF,EF⊂平面EGF,因此B1D⊥(1)可知平面EGF∥【例2—1】(2017·全国卷Ⅲ)如图,四面体ABCD中,△ABC是正三角形,△ACD是直角三角形,∠ABD=∠CBD,AB=BD.(1)证明:平面ACD⊥平面ABC;(2)过AC的平面交BD于点E,若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分,求二面角D-AE-C的余弦值.