泰勒公式和泰勒级数.pptx

文档介绍：三、幂级数的性质1加减法设f(x)=和g(x)=的收敛半径分别各为R1>0和R2>0,则=f(x)g(x).的收敛半径Rmin{R1,R2}.2设幂级数的收敛半径R>0,则在收敛区间(R,R)内,其和函数S(x),则S(x)(x)在收敛区间(R,R)内可导,并可以逐项求导任意次,(x)=x(R,R)4幂级数的和函数S(x)在收敛区间(R,R)内可积,并可逐项求积分,(R,R)即n=1(anxn)注:常用已知和函数的幂级数(1)(1<x<1)(2)(3)(4)(5)4二、麦克劳林(Maclaurin)公式三、泰勒级数一、泰勒公式的建立§(Taylor)公式与泰勒级数一次多项式在微分的应用中有近似计算公式:若f(x0)存在,则在x0点附近有f(x)=f(x0)+f(x0)(xx0)f(x)f(x0)+f(x0)(xx0)+o(xx0)需要解决的问题如何提高精度?如何估计误差?不足:;:在x0点附近,用适当的高次多项式Pn(x)=a0+a1(xx0)+a2(xx0)2+···+an(xx0)nf(x)一、泰勒公式猜想2若有相同的切线3若弯曲方向相同近似程度越来越好n次多项式系数的确定1若在x0点相交Pn(x0)=f(x0)Pn(x0)=f(x0)Pn(x0)=f(x0)y=f(x)假设Pn(k)(x0)=f(k)(x0)y=Pn(x)xoyx0即有Pn(x)=a0+a1(xx0)+a2(xx0)2+···+an(xx0)n假设Pn(k)(x0)=f(k)(x0)Pn(n)(x)=n!anPn(x)=a1+2a2(xx0)+3a3(xx0)2+···+nan(xx0)n1Pn(x)=2a2+32a2(xx0)+···+n(n1)an(xx0)n2a0=f(x0),2a2=f(x0),n!an=f(n)(x0),k=0,1,2,3,···,n令x=x0得a1=f(x0),a0=f(x0),a1=f(x0),k=0,1,2,3,···,n代入Pn(x)中得Pn(x)=f(x0)+f(x0)(xx0)+(xx0)2+···+(xx0)nPn(x)=a0+a1(xx0)+a2(xx0)2+···+an(xx0)n称为函数f(x)=0,1,2,3,···,n称为泰勒系数f(x)=Pn(x)+o(xx0)(泰勒中值定理)若函数f(x)在x0点的某邻域UR(x0)内具有直到n+1阶连续导数,则当x取UR(x0)内任何值时,f(x)可按(xx0)的方幂展开为f(x)=f(x0)+f(x0)(xx0)+(在x0与x之间)+Rn(x)公式(1)称为函数f(x)在x0处的泰勒公式.(1)Rn(x)称为拉格朗日(Lagrange)=0,1,2,···,(x)=f(x0)+f(x0)(xx0)+k证由于f(x)在UR(x0)内具有n+1阶连续导数,作辅助函数(t)=f(x)[f(t)+f(t)(xt)+(x)=0=(x0),不妨设x0<x,则(t)在[x0,x]连续,在(x0,x)可导,罗尔定理知,至少存在一点(x0,x),使()=0,