文档介绍：(证明)(相似矩阵与特征矩阵相似矩阵与矩阵的对角化相似矩阵在微分方程中的应用【1】):设为数域上两个级矩阵,如果可以找到数域上的级nnAB,,1XABAB?可逆矩阵,使得,就说相似于记作BXAX,,1AA?(1)反身性:;,,1AB?BA?AB?X(2)对称性:如果,那么;如果,那么有,使BXAX,,,1,,11BA?令YX,,就有AXBXYBY,,,所以。,1BC?AC?AB?(3)传递性:如果,,那么。已知有使BXAX,,XY,,,,111,1CAC?ZXY,CYXAXYZAZ,,,YBY。令,就有,因此,。,AB?若,,则:ABC,,(1);rArB()(),APA引理:是一个矩阵,如果是一个可逆矩阵,是nn,可逆矩阵,那么秩()sn,ss,QPA=秩()=秩()AQ,1CPBCAC,证明:设相似,即存在数域上的可逆矩阵,使得,由引理2可知,秩AB,,1ACABBCAC,()=秩()=秩()=秩()AB(2)设相似于,是任意多项式,则相似于,即fx()fA()fB(),,11PAPBPfAPfB,,,()()nn,1证明:设fxaxaxaxa(),,,,?nn,110nn,1于是,fAaAaAaAaE(),,,,?nn,110nn,1fBaBaBaBaE(),,,,?nn,110kkkABXAB由于相似于,则相似与,(为任意正整数),即存在可逆矩阵,使得kk,1,BXAX,,,,111nn因此XfAXXaAaAaAaEX,,,,?,,,,nn,110,,,,1111nn,,,,,aXAXaXAXaXAXaE?nn,110nn,1,,,,aBaBaBaE?nn,110,fB()所以相似于。fA()fB()(3)相似矩阵有相同的行列式,即;ABtrAtrB,,,,1CAB与证明:设相似,即存在数域上的可逆矩阵,使得,两边取行列式PBCAC,,,,111得:,从而相似矩阵有相同的行列式。A,,,,AB与又由性质(2)知,有相同的特征多项式,因而有相同的特征值,而,,,,,,?12ntrAtrB,A的迹,B的迹,从而,即相似trA,,,,,,,?trB,,,,,,,?12n12n矩阵有相同的迹AJordan(4)B与有相同的标准形;(5)相似矩阵同时可逆或同时不可逆。AB与AB相似,由性质2可知AB,,若可逆,即A,0,从而B,0,故证明:设ABA=0B=0可逆;若不可逆,即,从而,故不可逆。AB00,,,,ABD与B(6)若与相似,相似,则相似。与,,,,00CD,,,,,1ACD与BP证明:BPAP,与相似,即存在可逆矩阵,使得,相似,即存在可逆矩阵,Q,1BAP000,,P0,,,,,,,1=使得,由于DQCQ,,,,,,,,,,1000DCQ0Q,,,,,,,,,1PAP000,,,,,,=,,,,,,000QCQ,,,,,,P0AB00,,,,,,显然是可逆矩阵。由此可见,则相似。与,,,,,,0Q00CD,,,,,,:线性变换在不同基下所对应的矩阵是相似的;反过来,如果两个矩阵相似,那么它们可以看作同一个线性变换在两