文档介绍：第四章:曲线坐标系张量分析张量场函数:笛卡尔坐标系下rx1e1x2e2x3e3xi坐标线:只变化一个曲线坐标xi时,矢径的轨迹。直线坐标系下,坐标线都是直线。当xixi1,2,3,1,2,3坐标线中至少有一个是曲线时,称为曲线坐标系协变基:giri所以:xkxkiigiiek;g'ii'eki'giijj'jj'gjxmem;gj'jxmemjgjgigjjxkekemjxmjjxmixmiii基矢量的导数基矢量的导数还是矢量,因而可以用基矢量的线性组合表示:gjkgkij,kgkiij其中 kij称为第二类Christoffel符号, ij,k称为第一类Christoffel符号。Christoffel符号是基矢量导数在协变基下的分解系数。事实上:kgjgkijiij,kgijgk①指标对称性第二类Christoffel符号的两个协变指标用于指示哪一个基矢量(第二个协变指标)对44哪一个曲线坐标(第一个协变指标)求导数。kgjgk2rkgigkkijiijgjjiij,kgjgk2rgkgigkji,kiijj由此可见,Christoffel符号相对它的两个协变指标是对称的。②不是张量在直线坐标系中,由于基矢量不随坐标而改变,所以第二类Christoffel符号全部为零。如果它是张量,它在任意坐标系中都应是零。③与第一类Christoffel符号之间的联系由于Christoffel符号的第三个指标是矢量的分量指标,所以可以通过度量张量进行升降。kgjgkgjgkmgmgkmijiiij,mgjgkgjgkmgmgkmmij,kiiij④逆变基矢量的导数gigjigigjigiigiigjjkgjkg0kgjkjkkj⑤与度量张量分量导数之间的关系gijgigjgjgiki,jkj,i(a)kkkgjk(b)iij,kik,jgkijk,iij,k(c)j(b)+(c)-(a)1gjkgkigijij,k(ijk)245例题:求g对曲线坐标的导数g[g1(g2g3)]iig1(g2g3)g2g3)g1g3)ig1(i(g2iik1gk(g2g3)ik2g1(gkg3)ik3g1(g2gk)123g3)(i1i2i3)g1(g2kgikk1gln(g)ikgiiHamilton算子定义igi梯度它的涵义是:iTTi散度TgTiigTgiTTTgi旋度iiTgiTTTgiiiHamilton算子是一种具有坐标不变性微分算子,计算结果与坐标系的无关:例如:kTkTi'i'kTi'TTgkgkgi'ki'gi'设张量Tijgjkl则有:T..kglig,g46TT..ijklgigjgklssgijgigjgkglimgmgklT..klsT..klgisgmmT..ijmlgigjgsglT..ijkmgigjgkgsTijmjiimjijmijmkl(..klT..klmsT..klmsT..mlksT..kmls)gigjggssT..ijklgigjgkglT..ijkl;sgigjgkgl其中: 张量分量的协变导数。③将协变指标i替换为哑指标m普通偏导数④与ism相乘(s为求导坐标标号)ijT..ijklmjiimjijmijmijsT..klsT..klmsT..klmsT..mlksT..kmlsT..kl;s①将逆变指标i替换为哑指标m②与msi相乘(s为求导坐标标号)由于:gkTgi'Tki'sT..ijklgsgigjgkgls'T..i'k'j'l'gs'gi'gj'gk'gl'可见张量分量的协变导数sT..ijkl是张量。(gjgk)gimgmsisgi(gjgk)msismjkijkmmmsismjkjsimkksijmijkmmm0sijksmjkisimkjsijmks张量分量的缩并与求协变导数次序可交换:ijT..ijkmjiimjijmsT..ksT..kmsT..kmsT..mks缩并i,k指标:kjTkjmjkkmjkjmsT..k..kT..kmsT..kmsT..mkssT..kjkTkjmTkmjTkjms..mks..kms..mksTkjkmj..kT..kmss先缩并后求导(自由指标减少2个)kjT..kjkkmjsT..ksT..(AijBmn)(sAij)BmnAij(sBmn)设CAB则有:CABABsss因此:ijBmng)igjgmns(Ag(sAij)BmgnigjgmgnAij(sBmng)igjgmgn(ij)BmnijsBmng)igjgmgnsAA(48