7相似矩阵与矩阵对角化.ppt

文档介绍：:§ 相似矩阵与矩阵对角化二. n 阶矩阵A 与对角矩阵相似的条件三. ,B都是n阶矩阵,若存在可逆矩阵P,使得1P AP B??则称矩阵B是矩阵A的相似矩阵,对A进行运算称为对A进行相似变换,1P AP-, :3(1)反身性:.A A(2)对称性:若则A A(3)传递性:若则, ,A B B C性质1相似矩阵有相同的特征多项式、相同特征值、相同的行列式、相同的迹、:4(1) 相似矩阵或者都可逆,或者都不可逆。当它们可逆时,它们的逆矩阵也相似。性质2(2)若A 与B 相似,则kA 与kB相似( k为正整数).(3)若A与B相似,则Am与Bm相似.(m为正整数)??????1 1 11 2 1 A A P P A P P A P? ???(5)??1 1 11 1 2 2 1 1 2 2P k A k A P k P A P k P A P? ??? ??(6)(为任意常数)1 2,k k(4)若与相似,而是一个多项式,AB( )f x则与相似。( )f A( )f B5(2)有相同特征多项式的矩阵不一定相似。注2(1)与单位矩阵相似的n 阶矩阵只有单位阵E本身,与数量矩阵kE相似的n . n 阶矩阵A与对角矩阵相似的条件对n阶方阵A,如果可以找到可逆矩阵P,使得为对角阵,就称为把方阵A对角化。1P AP??? 阶矩阵A与对角阵相似(可对角化)的充要条件是矩阵A有n个线性无关的特征向量。证明1, ,P P AP???假设存在可逆阵使为对角阵??1 2, , , .nP P p p p??把用其列向量表示为7????121 2 1 2, , , , , ,n nnA p p p p p p???? ?? ?? ??? ?? ?? ?? ??即??1 1 2 2, , ,n np p p? ? ???1,P AP AP P??? ??由得, ,, ,.A nn n PAP P? ?反之由于恰好有个特征值并可对应地求得个特征向量这个特征向量即可构成矩阵使1 2, , , , .nP p p p?又由于可逆所以线性无关8????1 2 1 2, , , , , ,n nA p p p Ap Ap Ap? ?? ???1,2, , .i i iAp p i n?? ??于是有??1 1 2, , ,np p p? ? ???,.iiiA P pA??可见是的特征值而的列向量就是的对应于特征值的特征向量9(逆命题不一定成立)推论若n 阶矩阵A有n个互异的特征值,则A可对角化。(A与对角阵相似)注4 可逆矩阵P 由A的n个线性无关的特征向量作列向量构成。注3 若则的主对角元素即为的特征值,?,A?AA矩阵的相似标准形。k??如果不计的排列顺序,则唯一,称之为10例1判断下列实矩阵能否化为对角阵?2 1 2(1) 5 3 31 0 2A?? ?? ?? ?? ?