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2020年格林公式、高斯公式、斯托克斯公式的应用.doc

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2020年格林公式、高斯公式、斯托克斯公式的应用.doc

上传人:读书之乐 2020/2/20 文件大小:820 KB

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2020年格林公式、高斯公式、斯托克斯公式的应用.doc

文档介绍

文档介绍:Green公式、Stokes公式、Gauss公式在专业学科中的应用摘要格林(Green)公式,斯托克斯(Stokes)公式和高斯(Gauss)公式是多元函数积分学中的三个基本公式,它们分别建立了曲线积分与二重积分、曲面积分与三重积分、曲线积分和曲面积分的联系。它们建立了向量的散度与通量、旋度与环量之间的关系,除了在数学上应用于计算多元函数积分,在其它领域也有很多重要的应用。本文将主要从这三个公式与物理学之间的联系展开介绍它们的其它应用,其中包括应用于GPS面积测量仪,确定外部扰动重力场,应用于保守场以及推证阿基米德定律和高斯定理等,帮助人们加深对格林公式、斯托克斯公式和高斯公式的理解,从而能够更准确地应用此三个公式。关键词:格林公式斯托克斯公式高斯公式散度旋度应用目录一、引言 1二、格林(Green)公式的应用 1(一)格林公式的定义 11、单连通区域的概念 12、区域的边界曲线的正向规定 13、陈述 1(二)格林公式的物理原型 11、物理原型 22、计算方法 2(三)格林公式与GPS面积测量仪 3 3 4 5 5(四)应用格林积分直接以地面边值确定外部扰动重力场 6 6 6三、Stokes公式的应用 8(一)Stokes公式简介 8(二)环量与环量密度 9(三)环量的应用 9 9 10 10(四)旋度 11(五)旋度的应用 12 12 13 13四、Gauss公式的应用 161、数学中的高斯公式 162、保守场的推导 173、高斯公式在电场中的运用 174、高斯定理在万有引力场中的应用 19 21 22 24五、结语 25六、参考文献 26一、引言格林(Green)公式,斯托克斯(Stokes)公和高斯(Gauss)公式是多元函数积分学中的三个基本公式,它们分别建立了曲线积分与二重积分、曲面积分与三重积分、曲线积分和曲面积分的联系。它们有很强的物理意义即建立了向量的散度与通量、旋度与环量之间的关系,因此它们有许多重要的应用,在数学上它们主要用来简化某些多元函数积分的运算,而在其它各个专业领域它们也有很多重要的应用。接下来将一一介绍它们在不同专业中的应用。二、格林(Green)公式的应用格林公式的定义Green公式反映了第二型平面线积分与二重积分的联系。1、单连通区域的概念设D为平面区域,如果D内任一闭曲线所围的部分区域都属于D,则D称为平面单连通区域;,单连通区域是不含"洞"(包括"点洞")与"裂缝"、区域的边界曲线的正向规定设L是平面区域D的边界曲线,规定L的正向为:当观察者沿的这个方向行走时,平面区域(也就是上面的D):区域的边界曲线的正向应符合条件:人沿曲线走,区域在左边,人走的方向就是曲线的正向。3、陈述设闭区域D由分段光滑的曲线L围成,函数在D上具有一阶连续偏导数,则有⑴叫做格林(green),因此其应用十分地广泛[1].(二)格林公式的物理原型在工科的“高等数学”教材中,格林公式这部分都是先给出定理,然后加以证明、应用。讲这部分内容时,总有学生询问同一问题,即人们怎样想到这个公式,怎样想到曲线积分与重积分会有这样的数值上的联系?能否将格林公式的来源即物理原型加入教材呢?在教学中,试着加入这部分内容,并对公式作了简单的符号记法,简化了公式,降底了出错率,并对应用总结了几个类型。多年的实践证明,效果是很好的,下面就将加入的内容介绍如下[2]:1、物理原型在流体物理学中,称满足下述三个条件的“流速场”为“平面稳定流动”。(1)场中每一点的速度都不随时间改变,只是位t的函数即(2)所论流体介于两个互相平行的平面之间(为方便,不妨设平面间距离为l个单位)其中之一称为底面(往往底面即为xoy坐标面)。(3)垂宜于底面的直线上的各点流速相等,并平行于底面。在这种“平面稳定流动”中,我们来计算单位时间内流过曲线C的流体体积即流t密度(其实是流过以C为准线、高为l的柱体的流体体积;简单用面积表示)其中C是平面上一个闭的、无重点,光滑曲线。无重点,是指曲线,当总是相异的。计算方法(1)在C上任取一小段弧线△S,在△t时间内流过△S的流体面积,近似于一个平行四边形的面积,它的一个边长是△S另一个相邻边长是流程因此面积为其中是C的单位法向量单位时间内流体面积为:由曲线积分定义有总的流体面则设为点(x,y)处的切线,与x轴夹角(2)的计算能够从另一个角度来计算,那就是先算出流过场内每一个微dxdy在单位时间内散发出去的流体的面积,然后求其总和。设上述曲线C所围平面区城为G,在G内任取一个微元dxdy显然在单位时间内从左边流进(x轴方向)这个微元的流体面积近似于Pdy,而从右边流出的面积近似于(为偏增量的近似)。因此这个微元在单位时间内