文档介绍：1§§??一、定积分的换元积分法一、定积分的换元积分法??二、定积分的分部积分法二、定积分的分部积分法既然计算定积分这种特殊类型的和式极限既然计算定积分这种特殊类型的和式极限,,可以通过计算被积函数的原函数的值来完成可以通过计算被积函数的原函数的值来完成,,所以计算定积分的过程就与计算不定积分基所以计算定积分的过程就与计算不定积分基本类似,不定积分的一些计算方法都将在定本类似,不定积分的一些计算方法都将在定积分计算中得到体现,并针对定积分的要求积分计算中得到体现,并针对定积分的要求做些修正,更方便于使用。做些修正,更方便于使用。2定积分的换元法定积分的换元法??定积分换元法:设函数定积分换元法:设函数ff((xx))在区间在区间[[aa,,bb]]上连续上连续,,而而xx==??((tt))满足下列条件:满足下列条件:⑴⑴xx==??((tt))在区间在区间[[??,,??]]上单调且有连续导数;上单调且有连续导数;⑵⑵??((??)=)=aa,,??((??)=)=bb,且当,且当tt在区间在区间[[??,,??]]上变化时上变化时, , xx==??((tt))的值在的值在[[aa,,bb]]上变化,则有换元公式上变化,则有换元公式.)()]([)(dtttfdxxfba????????口诀:口诀:““换元换元””同时要同时要““换限换限””!!((不换元就不要换限不换元就不要换限))3换元法证明换元法证明??证:证:设)(xF是)(xf的一个原函数,),()()(aFbFdxxfba???)],([)(tFt????dtdxdxdFt????)()()(txf???),()]([ttf????),()()()]([????????????dtttf)(t??是)()]([ttf????)(??、b?)(??,)()(?????)]([)]([????FF??),()(aFbF??)()()(aFbFdxxfba???)()(??????.)()]([dtttf???????注意当???时,??11:定理中要求函数在闭区间上连续,是保证:定理中要求函数在闭区间上连续,是保证相应的定积分存在,而初等函数在其定义域是相应的定积分存在,而初等函数在其定义域是连续的;连续的;??22:变换函数在变换后的区间内是单调的;:变换函数在变换后的区间内是单调的;??33:变换后,积分上限、下限要发生变化。:变换后,积分上限、下限要发生变化。5例题与讲解例题与讲解??例:计算例:??xdxx??解:解:??205sincosxdxx???205coscos?xxd)cos(xt?0?x,1??t2??x,0??t??205sincosxdxx???015dtt1066t?.61?6例题与讲解例题与讲解??例:计算例:计算?????dxxxxxxf53sinsin)(?????23sincosxx?????053sinsindxxx?????023sincosdxxx?????2023sincosdxxx??????223sincosdxxx?????2023sinsinxdx??????223sinsinxdx??2025sin52??x??????7例题与讲解例题与讲解??**例:计算例:计算??解解.)ln1(ln43??eexxxdx原式???43)ln1(ln)(lneexxxd???43)ln1(ln)(lneexxxd???432)ln(1ln2eexxd??43)lnarcsin(2eex?.6??8例题与讲解例题与讲解??例:计算例:计算??解:解:.)0(.022???aadxxa令,sintax?ax?,2???t0?x,0??t,costdtadx?原式??2022cos?tdta???202)2cos1(2?dtta202]2sin21[2?tta??.42a??注:此题也可以从几何意义来解,较为方便!注:此题也可以从几何意义来解,较为方便!9由奇偶函数的对称性由奇偶函数的对称性以及定积分的几何意以及定积分的几何意义也可说明结论正确义也可说明结论正确例题与讲解例题与讲解??★★例:设例:设ff((xx))在在[-[-aa,,aa]]上连续上连续,,则则??????????为偶函数为奇函数)()(2)(0)(xfdxxfxfdxxfaaaa??证证,)()()(00???????aaaadxxfdxxfdxxf??????aadxxfdttf00)()(?????aadxxfdttf00)()(?????????????为偶函数为奇函数)()()(