文档介绍：上页下页返回退出定积分概念与性质一、定积分问题举例二、定积分定义三、定积分的性质上页下页返回退出一、定积分问题举例?曲边梯形设函数y?f(x)在区间[a?b]上非负、连续?由直线x?a、x?b、y?0及曲线y?f (x)所围成的图形称为曲边梯形?其中曲线弧称为曲边??观察与思考在曲边梯形内摆满小的矩形???当小矩形的宽度减少时???小矩形面积之和与曲边梯形面积之间的误差将如何变化?怎样求曲边梯形的面积?上页下页返回退出?求曲边梯形的面积(1)分割??a?x0?x1?x2?????xn?1?xn?b????xi?xi?xi?1????小曲边梯形的面积近似为f(?i)?xi?xi?1??i?xi????(2)近似代替?(4)取极限??设??max{?x1??x2??????xn}??曲边梯形的面积为???????niiixfA10)(lim???(3)求和??曲边梯形的面积近似为??????????????????????????niiixfA10)(lim????v(t)是时间t 的连续函数?且v(t)?0?计算物体在时间段[T1?T2]内所经过的路程S?(1)分割???T1?t0?t1?t2??????tn?1?tn?T2???ti?ti?ti?1???(2)近似代替???物体在时间段[ti?1?ti]内所经过的路程近似为?Si?v(?i)?ti?ti?1??i?ti)???物体在时间段[T1?T2]内所经过的路程近似为(3)求和???(4)取极限???记??max{?t1??t2??????tn}??物体所经过的路程为????niiitvS1)(???????niiitvS10)(lim???上页下页返回退出二、定积分定义?定积分的定义??max{?x1??x2??????xn}?记?xi?xi?xi?1 (i?1? 2?????n)???a?x0?x1?x2?????xn?1?xn?b????在区间[a?b]内插入分点???设函数f(x)在区间[a?b]上有界??如果当??0时?上述和式的极限存在?且极限值与区间[a?b]的分法和?i的取法无关??则称此极限为函数f(x)在区间[a?b]上?在小区间[xi?1?xi]上任取一点?i (i?1? 2?????n)????niiixf1)(??作和即?badxxf)(?的定积分?记为??????niiibaxfdxxf10)(lim)(???上页下页返回退出?定积分各部分的名称?————积分符号?f(x) ———被积函数?f(x)dx——被积表达式?x ————积分变量? a————积分下限? b————积分上限? [a?b]———积分区间,?定积分的定义二、定积分定义??????niiibaxfdxxf10)(lim)(??????niiixf1)(?———积分和?上页下页返回退出?定积分的定义二、定积分定义说明:定积分的值只与被积函数及积分区间有关?而与积分变量的记法无关?即??????niiibaxfdxxf10)(lim)(???根据定积分的定义?曲边梯形的面积为??badxxfA)(?变速直线运动的路程为dttvSTT)(21????????bababaduufdttfdxxf)()()(?上页下页返回退出?函数的可积性如果函数f(x)在区间[a?b]上的定积分存在?则称f(x)在区间[a?b]上可积??定理1如果函数f(x)在区间[a?b]上连续?则函数f(x)在区间[a?b]上可积??定理2如果函数f(x)在区间[a?b]上有界?且只有有限个间断点?则函数f(x)在区间[a?b]上可积??定积分的定义二、定积分定义??????niiibaxfdxxf10)(lim)(???上页下页返回退出?定积分的几何意义当f(x)?0时???f(x)在[a?b]上的定积分表示由曲线y?f(x)、直线x?a、x?b与x轴所围成的曲边梯形的面积?当f(x)?0时?f(x)在[a?b]上的定积分表示曲边梯形面积的负值?这是因为?????????????????baniiiniiibadxxfxfxfdxxf)]([)]([lim)(lim)(1010??????????????????????baniiiniiibadxxfxfxfdxxf)]([)]([lim)(lim)(1010??????????????????????baniiiniiibadxxfxfxfdxxf)]([)]([lim)(lim)(1010??????????????????????baniiiniiibadxxfxfxfdxxf)]([)]([lim)(lim)(1010