文档介绍：【知识拓展】收敛数列有几个重要性质,它们可表现为下面几个定理:证明:假设数列有两个极限a与b,即与,根据数列极限定义,对于任意的ε>0分别有:存在自然数当时,有;存在自然数,当时,,当n>N时,同时有与,于是当n>N时,有因为a与b是常数,2ε是任意小的正数,因此只有a=b,上述不等式才能成立,:(有界性)若数列收敛,则有界,即存在正数M,对任意自然数n有证明:设,根据数列极限的定义,取定(ε能够根据需要任意选取),存在自然数N,当n>N时,有因为,因此当n>N时,有或即….在数列中不满足不等式的项充其量不过是前N项:.,对任意自然数n,,,已知数列是有界的,,?定义:若存在两个数A,B(设A<B),数列中的每一项都在闭区间[A,B]内,亦即,,.(1)如果B是数列的上界,那么B+1,B+2,B+α(α>0),下界也是如此.(2)对于数列,如果存在正整数N,当n>N时,总有,,往后有界一定是有界的,这是因为在N项之前只有有限多个数在这有限个数中必有最大的数和最小的数,设,那么min(A,α)和max(B,β)就是整个数列的下界和上界.(3)有界数列也能够这样叙述:若存在一个正数M,使得,,若存在原点O的一个M邻域O(O,M),使得所有,就称是有界数列,?设是一个数列,如果我们就说这个数列是单调增加(上升)(下降),?,当n>N,总有,且,则[注:方法1被称为夹挤定理.]例1计算思路启迪只要找到两个数列与,,,,则根据第n+,用归纳法证明数列是单调增加的,,设(k是自然数)有,即,,当n=1时,=k时,=k+1时,也有,,,已知,有即,得,由可知,不能是负数,,函数极限也具有以下几个性质:,且A>B,则存在δ>0,使当时,f(x)>g(x).证明:取那么存在当时,有;同时又存在,当时,有,现在,令,那么当时,>0,使当时,f(x)<g(x),则A≤>B(A<B),则存在δ>0,使当时,f(x)>B(f(x)<B).=B,:采用反证法,如果A≠B,不妨设