文档介绍：第七章线性变换1. 判别下面所定义的变换那些是线性的,那些不是:1) 在线性空间V中,A,其中V是一固定的向量;2) 在线性空间V中,A其中V是一固定的向量;3) 在P中,A;4) 在P中,A;5) 在P[]中,A;6) 在P[]中,A其中P是一固定的数;7) 把复数域上看作复数域上的线性空间,A。8) 在P中,AX=BXC其中B,)当时,是;当时,不是。2)当时,是;当时,不是。3),时,A,A,AA(。4),有A=A===A+A,AA=A,故A是P上的线性变换。5),并令则A=A===A+A,再令则AAA,故A为上的线性变换。6)=AA,AA。7)不是,例如取a=1,k=I,则A(ka)=-i,k(Aa)=i,A(ka)kA(a)。8)是,因任取二矩阵,则A(A+A,A(k)=A,故A是上的线性变换。,取直角坐标系oxy,以A表示将空间绕ox轴由oy向oz方向旋转90度的变换,以B表示绕oy轴向ox方向旋转90度的变换,以C表示绕oz轴由ox向oy方向旋转90度的变换,证明:A=B=C=E,ABBA,AB=BA,并检验(AB)=AB是否成立。解任取一向量a=(x,y,z),则有因为Aa=(x,-z,y),Aa=(x,-y,-z),Aa=(x,z,-y),Aa=(x,y,z),Ba=(z,y,-x),Ba=(-x,y,-z),Ba=(-z,y,x),Ba=(x,y,z),Ca=(-y,x,z),Ca=(-x,-y,z),Ca=(y,-x,z),Ca=(x,y,z),因此A=B=C=E。因为AB(a)=A(z,y,-x)=(z,x,y),BA(a)=B(x,-z,y)=(y,-z,-x),因此ABBA。3)因为AB(a)=A(-x,y,-z)=(-x,-y,z),BA(a)=B(x,-y,-z)=(-x,-y,z),因此AB=BA。因为(AB)(a)=(AB)(AB(a))_=AB(z,x,y)=(y,z,x),AB(a)=(-x,-y,z),因此(AB)AB。[x]中,AB,证明:AB-BA=E。证任取P[x],则有(AB-BA)=AB-BA=A(-B(=-=因此AB-BA=E。,B是线性变换,如果AB-BA=E,证明:AB-BA=A(k>1)。证采用数学归纳法。当k=2时AB-BA=(AB-ABA)+(ABA-BA)=A(AB-BA)+(AB-BA)A=AE+EA=2ª,结论成立。归纳假设时结论成立,即AB-BA=A。则当时,有AB-BA=(AB-ABA)+(ABA-BA)=A(AB-BA)+(AB-BA)A=AE+AA=A。。:可逆变换是双射。证设A是可逆变换,它的逆变换为A。若ab,则必有AaAb,不然设Aa=Ab,两边左乘A,有a=b,这与条件矛盾。其次,对任一向量b,必有a使Aa=b,事实上,令Ab=a即可。因此,A是一个双射。,,,是线性空间V的一组基,A是V上的线性变换。证明:A是可逆变换当且仅当A,A,,A线性无关。证因A(,,,)=(A,A,,A)=(,,,)A,故A可逆的充要条件是矩阵A可逆,而矩阵A可逆的充要条件是A,A,,A线性无关,故A可逆的充要条件是A,A,,A线性无关.。:第1题4)中变换A在基=(1,0,0),=(0,1,0),=(0,0,1)下的矩阵;[o;,]是平面上一直角坐标系,A是平面上的向量对第一和第三象限角的平分线的垂直投影,B是平面上的向量正确垂直投影,求A,B,AB在基,下的矩阵;在空间P[x]中,设变换A为,试求A在基=(I=1,2,,n-1)下的矩阵A;六个函数=ecos,=esin,=ecos,=esin,=ecos,=esin,的所有实数线性组合构成实数域上一个六维线性空间,求微分变换D在基(i=1,2,,6)下的矩阵;已知P中线性变换A在基=(-1,1,1),=(1,0,-1),=(0,1,1)下的矩阵是,求A在基=(1,0,0),=(0,1,0),=(0,0,1)下的矩阵;在P中,A定义如下:,其中,求在基=(1,0,0),=(0,1,0),=(0,0,1)下的矩阵;同上,求A在,,下的矩阵。解1)A=(2,0,1)=2+,A=(-1,1,0)=-+,A=(0,1,0)=,故在基,,下的矩阵为。2)取=(1,0),=(0,1),则A=+,A=+,故A在基,下的矩阵为A=。又因为B=0,B=,因此B在基,下的矩阵为B=,另外,(AB)=A(B)=A=+,因此AB在基,下的矩阵为AB=。3)因为,因此A,A,A={}=,因此A在基,,,下的矩阵为A=。4)因为D=a-b,D=b-a,,D=