文档介绍：,若,且在[0,1]上的最小值为,求证:,,求证:≤:对任意且恒成立。例7已知用数学归纳法证明;对对都成立,证明(无理数)例8已知不等式。表示不超过的最大整数。设正数数列满足:求证再如:设函数。(Ⅰ)求函数最小值;(Ⅱ)求证:对于任意,有例9设,求证:数列单调递增且 ,求证:例11设数列满足,当时证明对所有有:;.,;5利用单调性放缩:构造函数例14已知函数的最大值不大于,又当时(Ⅰ)求的值;(Ⅱ)设,证明例15数列由下列条件确定:,.(I)证明:对总有;(II)证明:,,,定义,求证:对一切正整数有例19数列满足证明例20已知数列{an}满足:a1=,且an=求数列{an}的通项公式;(2)证明:对一切正整数n有a1·a2·……an<2·n!(Ⅰ)写出数列的前3项;(Ⅱ)求数列的通项公式;(Ⅲ)证明:对任意的整数,(Ⅰ)设函数,求的最小值;(Ⅱ)设正数满足,求证:=,数列满足(1)求在上的最大值和最小值;(2)证明:;(3)判断与的大小,,,.(Ⅰ)求的通项公式;(Ⅱ)证明:对任意的,,;(Ⅲ)证明:.例25已知函数f(x)=x2-1(x>0),设曲线y=f(x)在点(xn,f(xn))处的切线与x轴的交点为(xn+1,0)(n∈N*).(Ⅰ)用xn表示xn+1;(Ⅱ)求使不等式对一切正整数n都成立的充要条件,并说明理由;(Ⅲ)若x1=2,求证:例1解析此数列的通项为,,即注:①应注意把握放缩的“度”:上述不等式右边放缩用的是均值不等式,若放成则得,就放过“度”了!②根据所证不等式的结构特征来选取所需要的重要不等式,这里,其中,等的各式及其变式公式均可供选用。例2[简析]例3简析不等式左边==,【解析】使用均值不等式即可:因为,因此有其实,上述证明完全能够改述成求的最大值。本题还能够推广为:若,,试求的最大值。请分析下述求法:因为,因此有故的最大值为,且此时有。上述解题过程貌似完美,其实细细推敲,是大有问题的:取“=”的条件是,即必须有,即只有p=q时才成立!那么,呢?其实例6的方法照样可用,只需做稍稍变形转化:则有于是,,当且仅当结合其结构特征,还可构造向量求解:设,则由马上得解:且取“=”的充要条件是:。:法1利用假分数的一个性质可得即法2利用贝努利不等式的一个特例(此处)得,例6[简析]高考标准用数学归纳法证明,;这里给出运用柯西()不等式的简捷证法:而由不等式得(时取等号)(),得证!例7[解析]结合第问结论及所给题设条件()的结构特征,可得放缩思路:。于是,即【注】:题目所给条件()为一有用结论,能够起到提醒思路与探索放缩方向的作用;当然,本题还可用结论来放缩:,即例8【简析】当时,即于是当时有注:本题涉及的和式为调和级数,是发散的,不能求和;可是能够利用所给题设结论来进行有效地放缩;再如:【解析】(Ⅰ)1;(Ⅱ)证明:由(Ⅰ)得,对x>-1有,利用此结论进行巧妙赋值:取,则有即对于任意,有例9[解析]引入一个结论:若则,(可经过构造一个等比数列求和放缩来证明,略)整理上式得(),以代入()式得。即单调递增。以代入()式得。此式对一切正整数都成立,即对一切偶数有,又因为数列单调递增,因此对一切正整数有。注:上述不等式可加强为简证如下:利用二项展开式进行部分放缩:只取前两项有对通项作如下放缩:[解析]又(只将其中一个变成,进行部分放缩),,于是例11【解析】用数学归纳法:当时显然成立,假设当时成立即,则当时,成立。利用上述部分放缩的结论来放缩通项,可得【注】上述证明用到部分放缩,当然根据不等式的性质也能够整体放缩:;证明就直接使用了部分放缩的结论。例12[简析]观察的结构,注意到,展开得即,[简析]本题有多种放缩证明方法,这里我们对(Ⅰ)进行减项放缩,有法1用数学归纳法(只考虑第二步);法2则例14[解析](Ⅰ)=1;(Ⅱ)由得且用数学归纳法(只看第二步):在是增函数,则得例15[解析]构造函数易知在是增函数。当时在递增,故。对(II)有,构造函数它在上是增函数,故有,得证。【注】①数列单调递减有下界因而有极限:②是递推数列的母函数,研究其单调性对此数列本质属性具有重要的指导作用。例16[简析]令,这里则有,从而有注:经过换元化为幂的形式,