文档介绍：Summer Grass FadeArial Font Family2016-12-1822 内积空间,范数? 欧氏空间、酉空间? 标准正交基、Schmidt方法? 酉变换、正交变换? 对称变换与反对称变换? 正规矩阵与Schur引理? Hermite矩阵,Hermite二次齐式? 正定Hermite二次型与正定Hermite矩阵? Hermite矩阵偶在复相合下的标准型? 向量范数?? 诱导范数2016-12- 欧氏空间、酉空间?、酉空间?(欧氏)空间的性质?(欧氏)空间的度量2016-12- 欧氏空间、、 (欧氏空间)设V是实数域R上的n维线性空间,对于V中的任意两个向量?、?,按照某一确定法则对应着一个实数,这个实数称为?与?的内积,记为(?,?),并且要求内积满足下列运算条件:(1) 对称性(?,?) = (?,?)(2) 齐次性(k?,?) = k (?,?) ,k为任意实数(3) 可加性(?+?,?) =(?,?) + (?,?)(4) 非负性(?,?) ? 0 当且仅当?=0时(?,?) = 0 称带有这样内积的n维线性空间V为欧氏空间。2016-12- 欧氏空间、 在Rn中,对于?= (a1,a2,…,an)T,?=(b1,b2,…,bn) T,规定(?,?)1=? T?=?T?= a1b1+a2b2+…+ anbn容易验证,(?,?)1是Rn上的一个内积,从而Rn成为一个欧氏空间。 如果规定(?,?)2= a1b1+2a2b2+ …+nanbn容易验证,(?,?)2也是Rn上的一个内积,。2016-12- 欧氏空间、 在m?n维线性空间Rm?n中,规定(A,B) = tr(ABT)容易验证这是Rm?n上的一个内积,这样Rm?n在被赋予这个内积后成为一个欧氏空间。2016-12- 欧氏空间、:设V是复数域C上的n维线性空间,对于V中的任意两个向量?、?,按照某一确定法则对应着一个复数,这个复数称为?与?的内积,记为(?,?),并且要求内积满足下列运算条件:(1) 对称性(?,?) = ,其中是(?,?)的共轭复数(2) 齐次性(k?,?) = k (?,?) ,k为任意复数( , )??( , )??(3) 可加性(?+?,?) =(?,?) +(?,?)(4) 非负性(?,?) ? 0(即为非负实数) 当且仅当?=0时(?,?) = 0 称定义有这样内积的n维线性空间V为n维复欧氏空间,简称为n维酉空间。欧氏空间与酉空间通称为内积空间。2016-12- 欧氏空间、 设Cn是n维复(列)向量空间,若?= (a1,a2,…,an)T,?=(b1,b2,…,bn) T,命容易验证,(?,?)是Cn上的一个内积,成为一个酉空间,中内积定义一般采用此公式。 ?n中,规定(A,B) = tr(ABH)其中,BH表示B中所有元素取共轭复数后再转置。容易验证(A,B)是Cn?n上的一个内积,?n连同这个内积一起成为酉空间。1 1 2 2( , )Tn na b a b a b????? ?????2016-12- 欧氏空间、(欧氏)空间的性质欧氏空间可以作为酉空间的特例,因此着重对酉空间讨论,有时我们更泛指内积空间,它包括酉空间与欧氏空间。,可以得到欧氏空间中内积的性质:(1) (?,k?) = k (?,?) (2) (?,?+?) =(?,?) + (?,?) 1 1(3) ( , ) ( , )s si i i ii ik k? ? ??? ??? ?1 1(4) ( , ) ( , )s si i i ii ik k? ? ??? ??? ?2016-12- 欧氏空间、