文档介绍：第二章非线性规划一、非线性规划的概念:在第一章中我们讨论了线性规划,线性规划是研究在线性约束条件下求解线性目标函数的最小(或最大)的问题,即式中,和,都是线性函数,即:所谓非线性规划问题,是指目标函数和约束函数,,中至少有一个是非线性函数。上面形式的规划问题中,目标函数是求最小,而所有的约束均为不等式限制,我们称(P)为标准形式的规划问题。由本章中例子可以看出,任何其它形式的规划问题都可以经过适当的数学上的处理,将它化为标准形式的规划问题。非线性规划同线性规划一样,也是运筹学的一个极为重要的分支。他在经济、管理、计划、统计,以及军事、生产过程自动化等方面都有着重要的应用。二、非线性规划的例子例1、给定一长为400米的绳子,用来围成一块矩形的菜地,问长与宽各为多少时的菜地的面积最大?设:菜地长为,宽为米,问题化为求,,使其满足约束条件并使面积S=.最大。于是规划问题为:Max(.)化成标准形式为:标准形式的问题(P)与原问题()具有完全相同的约束集合,但两问题的最优指相差一个负号。例2:假设某个部门在一段时间内可用于投资的总资金为c亿元,可供选择的项目共有n个,分别记为1,2…,n。已知若对第j()个项目需投资的总数为亿元,而收益额总数为亿元,问如何使用资金c亿元,使得该部门获得最佳的经济效益。设:变量为则问题化为这里,目标函数取作利率最大(即单位投资的收益)。当注意到变量的要求,可以用非线性等式限制时,可以像例1那样将问题化为标准形式非线性规划问题例3本例是微观经济学的生产理论中的一个典型的应用实例(在微观经济学中,非线性规划是应用最多的数学工具之一),设为生产函数,他表示n种生产要素的数量分别为是总产出(总产量或总产值)为。已知n种生产要素的“单价”分别为,问如何安排生产使得利润最大(这里,生产利润函数表示总产值)不难看出,利润最大化的规划问题为:三、预备知识:1、n维向量空间2、向量的运算:向量加法、向量减法、数与向量的乘积、两点连线、向量的长度及两向量的内积3、梯度、等高线、梯度方向、泰勒展开式、海赛矩阵四、凸集、凸函数、凸规划1、凸集与凸锥在第一章线性规划中给出了凸集的概念,又概念可以得出,若s中的任意两点间的连线也在s中,s即为凸集,任意多个凸集的交集也是凸集(空集也是凸集)凸锥:若对于任意,以及实数都有,则称S为锥,若对于任意,,以及实数,都有,则称S为凸锥,可以证明S为凸锥的充分必要条件是S为凸集,并且S为锥。2、凸函数、凹函数若对于以及都有则称f(x)为凸函数,若对于任意,以及都有则称f(x)为严格凸函数。若对于以及都有则称f(x)为凸函数,若对于任意,以及都有则称f(x)为严格凸函数。凸、凹函数的性质:性质1:若和为凸函数,数,则也为凸函数。性质2:若为单调下降的凸函数,f(x)为凹函数,则复合函数也为凸函数。3、凸函数的定理:(x)为凸函数的充分必要条件:(x)为具有一阶连续偏微商的函数,则f(x)为凸函数的充分必要条件为:对任意,(x)为具有二阶连续偏微商的函数,则f(x)为凸函数的充分必要条件为:对任意的,f(x)的海赛矩阵为半正定。4、,约束函数为凹函数,则此规划为凸规划五、非线性规划的库恩-塔克定理库恩-塔克定理刻