文档介绍：张长华复变函数与积分变换大学数学教程山东大学数学院山东大学数学院主讲: 郑修才复变函数与积分变换 plex Analysis and Integral Transform 复变函数与积分变换 plex Analysis and Integral Transform 第五章留数及其应用 孤立奇点 留数 留数在定积分计算上的应用复变函数与积分变换 plex Analysis and Integral Transform 复变函数与积分变换 plex Analysis and Integral Transform § f (z)虽在 z 0不解析, 但在 z 0的某一个去心邻域 0<| z-z 0|<d内处处解析, 则z 0称为 f (z) e 0 . zzz ?例如函数和都以为孤立奇点函数的奇点并非都是孤立的. 例如 z =0 是函数?? 1 ( ) sin 1 f z z ?的非孤立奇点。换句话说, 在z =0的不论怎样小的去心邻域内总有 f(z) plex Analysis and Integral Transform 复变函数与积分变换 plex Analysis and Integral Transform 将函数 f (z)在其孤立奇点 z 0的去心邻域 0<| z-z 0|<d 内展开成洛朗级数. 根据展开式中所含负幂项的不同情况对孤立奇点分类如下: z-z 0的负幂项, 则称孤立奇点 z 0为f (z)的可去奇点. f(z)=c 0+c 1(z-z 0)+...+ c n(z-z 0) n +...,0<| z-z 0|<d 则在圆域|z-z 0|<d内恒有 f(z)=c 0+c 1(z-z 0)+...+ c n(z-z 0) n+..., 从而 f (z)在z 0称为可去奇点.?? 0 0 0 0 0 lim ( ) , lim ( ) z z z z f z c f z c f z ? ?? ??显然可补充定义复变函数与积分变换 plex Analysis and Integral Transform 复变函数与积分变换 plex Analysis and Integral Transform 3 5 2 4 sin 0 0 sin 1 1 1 1 1 ( ) 1 3! 5! 3! 5! sin . 0 1, sin 0 . z z z zz z z z z z z z zzzzzz ? ?? ?????????? ?例如是的可去奇点。因为函数在的去心邻域内的洛朗级数中不含负幂项如果定义在的值为则在点便为解析的了复变函数与积分变换 plex Analysis and Integral Transform 复变函数与积分变换 plex Analysis and Integral Transform 2. 极点如果在洛朗级数中只有有限多个 z-z 0的负幂项, 且其中关于(z-z 0) -1的最高幂为(z-z 0) -m, 即 f(z)=c -m(z-z 0) - m +...+ c -2(z-z 0) -2+c -1(z-z 0) -1+c 0+ c 1(z- z 0)+...( m?1, c -m?0), 则称孤立奇点 z 0为函数 f (z)的m级极点. 上式也可写成:01 ( ) ( ) * ( - ) m f z g z z z ?,() 其中 g (z) = c -m+ c -m +1(z-z 0) + c -m +2(z-z 0) 2 +..., 在|z-z 0|<d 内是解析的函数, 且g (z 0) ? 0 . 反过来,