文档介绍：1 / 13 王增浩数学第五课时导数专题一、导数的基本应用(一)研究含参数的函数的单调性、极值和最值基本思路:定义域→→疑似极值点→→单调区间→→极值→→最值基本方法: 一般通法:利用导函数研究法特殊方法:(1 )二次函数分析法;(2 )单调性定义法第一组本组题旨在强化对函数定义域的关注,以及求导运算和分类讨论的能力与技巧【例题 1 】已知函数 22 ( ) ( 1) x b f x x ???,求导函数( ) f x ?,并确定( ) f x 的单调区间. 解: 24 2( 1) (2 ) 2( 1) ( ) ( 1) x x b x f x x ? ??????? 3 2 2 2 ( 1) x b x ? ???? 3 2[ ( 1)] ( 1) x b x ? ????. 令( ) 0 f x ??,得1 x b ? ?. 当 1 1 b ? ?,即2b?时,2 ( ) 1 f x x ??,所以函数( ) f x 在( 1) ??, 和(1 ) ??, 上单调递减. 当 1 1 b ? ?,即2b?时, ( ) f x ?的变化情况如下表: x ( 1) b ?? ?,1b?( 11) b?, (1 ) ??, ( ) f x ?? 0??当 1 1 b ? ?,即2b?时, ( ) f x ?的变化情况如下表: x ( 1) ??, (1 1) b?,1b?( 1 ) b ? ??, ( ) f x ??? 0?所以, 2b?时,函数( ) f x 在( 1) b ?? ?, 和(1 ) ??, 上单调递减,在( 11) b?, 上单调递增, 2b?时,函数( ) f x 在( 1) ??, 和(1 ) ??, 上单调递减. 2b?时,函数( ) f x 在( 1) ??, 和( 1 ) b ? ??, 上单调递减,在(1 1) b?, 上单调递增. 第二组本组题旨在强化对导函数零点进行分类讨论的意识、能力和技巧【例题 2】已知函数 3 2 ( ) 2 f x x mx nx ? ???的图象过点( 1, 6) ? ?, 且函数( ) ( ) 6 g x f x x ?? ?的图象关于 y 轴对称. (Ⅰ) 2 / 13 求 m n 、的值及函数( ) y f x ?的单调区间;(Ⅱ)若0a?,求函数( ) y f x ?在区间( 1, 1) a a ? ?内的极值. 解:(Ⅰ)由函数( ) f x 图象过点( 1, 6) ? ?,得3 m n ? ??, ………①由 3 2 ( ) 2 f x x mx nx ? ???,得2 ( ) 3 2 f x x mx n ?? ??,则2 ( ) ( ) 6 3 (2 6) g x f x x x m x n ?? ?????; 而( ) g x 图象关于 y 轴对称,所以- 2 6 0 2 3 m???,所以 3m ??, 代入①得0n?. 于是 2 ( ) 3 6 3 ( 2) f x x x x x ?? ???. 由( ) 0 f x ??得2x?或0x?,故( ) f x 的单调递增区间是( , 0) ??, (2, ) ??; 由( ) 0 f x ??得 0 2 x ? ?,故( ) f x 的单调递减区间是(0, 2) . (Ⅱ)由( Ⅰ)得( ) 3 ( 2) f x x x ?? ?,令( ) 0 f x ??得0x?或2x?. 当x 变化时, ( ) f x ?、( ) f x 的变化情况如下表: x ( , 0) ?? 0 (0, 2) 2 (2, ) ?? f'(x) + 0- 0+ f(x) 增极大值减极小值增由此可得:当 0 1 a ? ?时, ( ) f x 在( 1, 1) a a ? ?内有极大值(0) 2 f ??,无极小值; 当1a?时, ( ) f x 在( 1, 1) a a ? ?内无极值; 当 1 3 a ? ?时, ( ) f x 在( 1, 1) a a ? ?内有极小值(2) 6 f ??,无极大值; 当3