文档介绍：求极限极限定义:(唯一性、局部保号性、局部有界性)若,则有f(x)>0。极限存在充要条件:求极限方法四则运算若,,则(1).(2).(3).若,则若,不存在,则一定不存在,不一定存在。例:若存在,则,都存在或者都不存在。若,,则一定存在。函数连续性f(x)在是处连续。初等函数在其定义域内都是连续。两个重要极限:,(证明过程)洛必达、泰勒公式(求未定式)以上指数形式用对数转化,即=若不存在,也不是,则一定不存在。设f(x)在有定义且在出有n阶导数,则,有n阶具有皮亚诺余项泰勒公式特别是x=0时,f(x)为n阶具有皮亚诺余项麦克劳林公式。此时f(x)多为n阶具有皮亚诺余项麦克劳林公式至多展开至3阶。用等价无穷小替换等价无穷小概念:若,则f(x)为无穷小。无穷小比较:高阶、低阶、等阶、同阶不存在且不是无穷大也不是无穷小,因为、x不能比较无穷小性质:(1).则(2).,则若,则有整体因式相乘除时可以用等价无穷小替换,局部因式相加减或乘除时,不能替换。常用等价无穷小: 夹逼定理(数列、函数)若{},{},{}满足①,②,则有若f(x),g(x),h(x)在满足①,②,则。利用定积分某些数列与极限f(x)在C[a,b]上连续或f(x)在C[a,b]上有有限个第一类间断点或f(x)在C[a,b]上单调,则必存在,且若a=0,b=1,则用导数定义求极限利用级数收敛性证明数列极限为零。若收敛,则。二、(x)(x)在有定义,但不存在 (x)在有定义,且存在,但存在,则为第一类间断点(可信间断点、跳跃间断点);否则为第二类间断点(无穷间断点、震荡间断点)。导数导数概念:舍f(x)在有定义,若存在,则f(x)在x处可导记作几何意义:切线方程法线方程 可微:若f(x)在U()有定义,若;若,则f(x)在x=出可微分,记作,即可导必可微,可微必可导。微分含义:表示曲线f(x)过,点切线纵坐标增量,且运算(1).基本初等函数求导公式(2).导数四则运算(3).复合函数求导法则若对u可导,对x可导,则对x可导,且(4).隐函数求导(5).参数方程求导设(6).反函数求导((7).变上限积分函数求导公式(定理)变上限积分函数求导:设f(x)在[a,b]上连续,则变下限积分函数求导:设f(x)在[a,b]上连续,则定理证明:高等数学(上)掌握全部给出证明过程定理证明。(1).罗尔中值定理(2).拉格朗日中值定理(3).柯西中值定理(4).具有拉格朗日余项型n阶泰勒中值定理设f(x)在有(n+1)阶导数,则,有其中特别当时,具有拉格朗日余项麦克劳林式数学(一)中最多展开至2阶(余项为3阶),常用是展开至1阶(余项为2阶),且展开点多为应用驻点、拐点、极值点、最值点(了解与上述点关系)使点为驻点。拐点:设f(x)在连续,若f(x)在两侧凹凸性改变则为拐点。极值点具有局部性,即局部极大值或局部极小值。可导函数极值点一定是驻点(极值点可取在不连续处)设f(x)存在2阶导数,则拐点处,拐点可以存在在点渐近线:若或,则是f(x)一条铅直渐近线,或者,则都是水平渐近线。若,且。若若,且。那么都是其斜渐近线。当x相同变化()时,发f(x)水平渐近线与斜渐近线不能同时存在。莱布尼茨公式复杂函数驻点、拐点、极值点确定,可以通过计算取得,也可通过观察取特值,如0,