文档介绍：试确定 a,b 的值,使得 2 3 2 a b A b a ? ??? ?? ?有特征值 1,以及相应的特征向量为 11 ? ?? ??? ?练****A AX X = =??X X( (??E E––A A) )X X = = 0 0 | |??E E––A A | = | = 0 0 特征方程特征方程= = ??––a a 11 11––a a 12 12……––a a 1 1n n––a a 21 21??––a a 22 22……––a a 2 2n n……………………––a a n n1 1––a a n n2 2……??––a a nn nn 特征多项式特征多项式特征值特征值特征向量特征向量 X?o 对每个对每个??, , 求求( (??E E––A A) )X X = = 0 0的基础解系的基础解系? 1,? 2,?,? t 对应于?的所有特征向量为 k 1? 1+k 2? 2+?+k t? t , k 1,?, k t不全为 0. 先解|?E–A |=0 , 求出所有特征值?, 相似矩阵与矩阵的对角化一、相似矩阵及其性质二、 n阶矩阵与对角矩阵相似的条件 1 1 相似矩阵及其性质相似矩阵及其性质定义 2设A,B为n阶矩阵,如果存在可逆矩阵 P,使得 P ?1 AP ?B 成立,则称矩阵 A与B相似,记为 A~B. 相似关系是矩阵间的一种等价关系,满足自反性: A ~ A对称性: 若A~B,则B~A 传递性: 若A~B,B~C,则A~C 定理 1如果矩阵 A与B相似,则它们有相同的特征值. 证明: 因为 P ?1 AP ?B, A与B有相同的特征多项式, |?E?B|?|P ?1(?E)P?P ?1 AP | ?|?E?P ?1 AP |?|P ?1(?E?A)P|?|P ?1|?|?E?A|?|P| ?|?E?A|, 所以它们有相同的特征值. 定义 2设A,B为n阶矩阵,如果存在可逆矩阵 P,使得 P ?1 AP ?B 成立,则称矩阵 A与B相似,记为 A~ A与对角矩阵相似, 对角矩阵对角线上的元素即A的特征值注: 有相同的特征多项式的方阵不一定相似. 例: 1 1 1 0 0 1 0 1 A E ? ? ??? ?? ? ??? ? ??, 特征多项式均为(?-1) 2,但不存在 P -1 EP=A. 相似矩阵还具有下述性质: (1) 相似矩阵有相同的秩; (2) 相似矩阵的行列式相等; (3) 相似矩阵的迹相等; 定理 1如果矩阵 A与B相似,则它们有相同的特征值. (4) A m ~B m,m为正整数. 解:由于 A和B相似,所以 Tr(A )= Tr(B ), | A |=|B | , 即解:由于矩阵 A和D相似,所以|A |=|D |, 即|A |=|D|=12. 22 31 1 2 , 3 4 A B y x ? ???? ?? ???? ???,求 x,y. 22 1 4 , 22 31 4 6 x x y ? ????? ??? xy ???????解得 1 1 0 2 2 0 0 0 3 D ?? ?? ??? ?? ?? ? A相似于,求| A|. 定理 2n阶矩阵 A与n阶对角矩阵?? diag( ???, ???, ???, ? n) 相似的充分必要条件为矩阵 A有n个线性无关的特征向量. 2n阶矩阵与对角矩阵相似的条件例如,矩阵 A ???????????????有两个不同的特征值? 1?4,? 2 ?? 2, 5 ?1 31 其对应特征向量分别为? 1 ?????????, ? 2?.1 1?5 1 取P?( ? 1, ? 2) ?????????????, 则 1 ?? 11 所以 A与对角矩阵相似. P ?1 AP ?11 ?5?116 ???—5 ?1 311 ?5 110 ?2 40?, 问题: 若取 P?( ? 2, ? 1), 问??? 2 0 . 0 4 ?? ??? ?? ?= 称为 A可对角化推导??0??? 00 ????? 000???? n????????????( ? 1, ? 2, ???, ? n ) = ( ?