文档介绍：函数的周期性、对称性 函数的周期性、对称性一、基本知识简述 1. 函数的周期性(1) 对于函数)(xfy?,如果存在一个常数 T? 0 ,能使得当 x 取定义域内的一切值时,都有)()(xfTxf??,则函数)(xfy?叫做以 T 为周期的周期函数. (2) 周期函数具有无数多个周期, 如果它的周期存在着最小正值, 就叫做它的最小正周期. 并不是任何周期函数都有最小正周期,如常量函数)()(Rxaxf??. (3 )周期函数具有如下性质: (I) 周期函数的定义域是无界的, ( II)若T为)(xfy?的周期,则 nT)0(??nZn且均为)(xfy?的周期 2. 函数的对称性若函数)(xfy?对定义域内一切 x (1))(xf?=)(xf?函数)(xfy?图象关于y 轴对称; )(xf?=-)(xf?函数)(xfy?图象关于原点对称; . (2))()(xafxaf????函数)(xfy?图象关于ax?对称?)()2(xfxaf??; )(2)2(xfbxaf????函数)(xfy?图象关于),(ba 成中心对称; [ 证明:若(x,y) 在 y=f(x) 上,则(2a-x,2b-y) 亦在 y=f(x) 上,即 2b-y=f(2a-x) 得 bxafxf2)2()(???](3))(xfy??与)(xfy?的图象关于y 轴对称; )(xfy??与)(xfy?的图象关于x 轴对称; )(xfy???与)(xfy?的图象关于原点对称; )(yfx?与)(xfy?的图象关于直线 xy?对称; 3. 图像的变换(1) 平移变换(i))0 )((???aaxfy 是将)(xfy?的图象向右平移 a 个单位( ii))0 )((???aaxfy 是将)(xfy?的图象向左平移 a 个单位( iii)),0()(Rbbbxfy????是将)(xfy?的图象向上(b>0) 或向下(b< 0)平移b 个单位(2) 翻折变换(i))(xfy?可以看作)(xfy?的图象在 x 轴上方不变, x 轴下方沿 x 轴向上翻折后所得.( ii))(xfy?可以看作)(xfy?的图象在 y 轴右方不变, y 轴右方沿 y 轴向左翻折后所得.( iii))(yfx?可以看作)(xfy?的图象关于 y=x 翻折后所得. (3) 压缩变换(i))0 )((??aaxfy 可以看作)(xfy?的图象沿x 轴方向向y 轴压缩)1(?a 或伸长)1(?a 到原来的 a 1 倍所得.( ii))0 )((??bxbfy 可以看作)(xfy?的图象沿 y 轴方向向 x 轴伸长)1(?b 或压缩)1(?b 到原来的 b 倍所得.. 函数的周期性、对称性二、例题 1. 求函数的周期例1 已知偶函数)(xf 满足)3()3(xfxf???,当)3,0(?x 时,2)(xxf?,当)12 ,9(?x 时,)(xf =_____ 由上题知 6为)(xf 的一个周期, 双对称函数―――周期函数(1) 定义在 R 上的函数)(xf 的图象关于直线 bxax??, 都成轴对称(ba?), 判断)(xf 的周期性(2) 定义在 R 上的函数)(xf 的图象关于点),( ),,(cbca 都成中心对称(ba?), 判断)(xf 的周期性(3) 定义在 R 上