全国高中生数学数学竞赛二试模拟训练题24.docx

文档介绍：全国高中生数学数学竞赛二试模拟训练题(24)加试模拟训练题(24)1、已知单位面积的凸四边形及其内一点,证明这5个点构成的三角形中必有一个的面积不超过,并证明这个上界是最小的。2、已知正实数的和等于1,证明:.,其中任何4点都不共面,在每一对点之间都连有一条线段,这些线段可染为蓝色或红色,,使得将其中任意n条线段中的每一条任意地染为红蓝二色之一,在这n条线段的集合中都必然包含有一个各边同色的三角形。,,证明:()()。加试模拟训练题(24)1、已知单位面积的凸四边形及其内一点,证明这5个点构成的三角形中必有一个的面积不超过,并证明这个上界是最小的。证明假设两条对角线交于点,不妨假设点在中。假设的面积分别为,分别为,,因为,所以有。若均大于,则,矛盾。当等腰梯形满足平行于,,高为,在对称轴上,且到的距离为1。此时,,所以是最小的。2、已知正实数的和等于1,证明:.(1999-2020年波兰数学竞赛题)证明:根据不等式的特点,以,代入原不等式并整理可得齐次不等式:.,又=++..(Ramsey问题)给定空间中的9个点,其中任何4点都不共面,在每一对点之间都连有一条线段,这些线段可染为蓝色或红色,,使得将其中任意n条线段中的每一条任意地染为红蓝二色之一,在这n条线段的集合中都必然包含有一个各边同色的三角形。解:在考虑这个问题前,先熟悉几个简单的问题。(1)任意6个人中,总有3个人,他们全部认识或全部不认识。运用图论的方法,考虑在二色完全图中有同色三角形,这个是显然的。(2)房间里有10个人,任意三人中总有两个人相互认识,证明:其中必有4人相互认识。运用图论的方法,中,认识的用黄色相连,不认识的用红色相连。中无红色三角形,待证明:中有黄色的(3)二色完全图存在一种染色方法,使得其中无同色三角形我们采用比较原始的方法来证明:其中,右图的证明利用二色完全图中有同色三角形且该