全国高中生数学数学竞赛二试模拟训练题91.docx

文档介绍：全国高中生数学数学竞赛二试模拟训练题(91)加试模拟训练题(91),在△ABC中,∠ABC和∠ACB均是锐角,D是BC边上的内点,且AD平分∠BAC,过点D分别向两条直线AB、AC作垂线DP、DQ,其垂足是P、Q,:AK⊥BC;证明:⑴(BDP∽(BAH,(=,由(CDQ∽(CAH,(=.由AD平分∠BAC,(=,由DP⊥AB,DQ⊥AC,(AP=AQ.∴··=··=·=·=1,据Ceva定理,AH、BQ、CP交于一点,故AH过CP、BQ的交点K,∴AK与AH重合,即AK⊥、β、γ是x3-x-1=0的根,计算的值.【题说】第二十八届(1996年)加拿大数学奥林匹克题1.【解】设f(x)=x3-x-1=(x-α)(x-β)(x-γ)由多项式根与系数关系,有α+β+γ=0αβ+βγ+γα=-1αβγ=1从而其中分子A=(1+α)(1-β)(1-γ)+(1+β)(1-α)(1-γ)+(1+γ)(1-α)(1-β)=3-(α+β+γ)-(αβ+βγ+γα)+3αβγ=7分母B=(1-α)(1-β)(1-γ)=f(1)=-1因此所求值为S=-,具有如下性质:五个三角形ABC、BCD、CDE、DEA、:各个具有上述性质的五边形都有相同的面积,并且有无限多不全等的这样的五边形.【题说】第一届(1972年)美国数学奥林匹克题5.【证】由S△ABE=S△ABCAB∥CE,同理AE∥,S△BEF=S△ABE=1设S△CDF=xS△BCF=1-x即到E,使S△BCD=S△CDE=1EA∥DF,BA∥、BA相交于A,则五边形ABCDE便满足所设条件,+y2=26x2+1201的一切正整数数组(x,y).【题说】1995年日本数学奥林匹克预选赛题8.【解】由条件得(2x2+1)(y2-13)=1188=22×33×11从而2x2+1与y2-13均为22×32×+1是奇数,故2x2+1为33×11=,所求的正整数解为(4,7)和(7,5).