文档介绍：应用数学选讲之论文阅读报告——模型降阶问题以及关于“ SAPOR:Second-Order Arnoldi Method for Passive Order Reduction of RCS Circuits ”的论文报告第一章:模型降阶第二章:关于 SAPOR 的论文阅读报告第三章:模型降阶领域的其他论文和书籍第一章:模型降阶 1. 模型降阶的定义模型降阶( Model Order Reduction ,简写 MOR ) ,顾名思义,是在有合理的准确性的基础上构建一个简化的系统来近似原来的系统。 2. 模型降阶的应用当前随着工程应用领域内的仿真、优化和控制中会产生大型复杂系统,模型降阶在快速科学计算上的优越性显露无遗,因此也应用十分广泛。很多非数学专业的其他领域,如电路仿真和自动控制的国际权威期刊上也会刊登着,很多情况下正是这些论文,才推动着模型降阶,乃至科学计算的发展。本文介绍的论文是“ SAPOR:Second-Order Arnoldi Method for Passive Order Reduction of RCS Circuits ”,发表在 ICCAD-04 上. 3. 模型降阶的描述现对于一阶线性时不变系统,, ,,, )()()( )()( )( PM NM PNNNNNDC BAE ttt ttdt td ??????????????????? Du Cx y Bu Ax xE 其中 N很大。降阶后: ,, ,,, )( ~)( ~ ~)( ~ )( ~)( ~ ~ )( ~~ PM nM PnnnnnDC BAE ttt ttdt td ???????????????????uDxCy uBxA xE 其中 n<<N 。针对以上形式, 可以简化成单输入单输出( SISO ),也可以省去 D或者 E简化成 I 等,当然这都是针对特殊的应用场合。类似的也可以进行推广,有二阶或二阶以上的高阶系统,离散系统,双线性系统,非线性系统,耦合系统,定常系统, 偏微分系统等。有的可以是这些“变种”的叠加,如二阶离散系统等。一般可以较简单地将频域内只应用于一阶线性时不变的模型降阶方法推广到这些系统,然后掌握这些推广后,又会反过来也会对模型降阶方法的理解有更深刻的认识。当然,还有特殊的,如传输线系统,和本文后面介绍的 SOPAR 所应用的产生于互联线的提取中的 RCS 系统。 4. 输入输出系统特征自动控制领域会有可控性和可观性的概念。范数作为一种衡量指标也是至关重要的。而稳定性和无源性又是衡量模型降阶方法是否可行的重要指标。 5. 时域与复频域下模型降阶方法如果可以用微分方程表示的最简单的一种形式,即时域,当然也有 Laplace 变换后的代数形式,即复频域。时域上大多采取正交分解模型降阶方法,而复频域上大多采用矩匹配。其他的方法有时域的本征正交分解( POD )和小波时域降阶,频域的积分全等变换和最优化模型降阶方法等。正交分解模型降阶方法是在时间域上以正交多项式为基底的空间上展开, 有 Chebyshev 多项式和 Laguerre 多项式等。矩匹配方法有较早的渐近波形估计( AWE )方法,基于 Krylov 子空间的方法, 以及平衡截断方法。当然,如果单点匹配不合适时,可以采用多点匹配甚至是拟合的方法(主要应用于非线性系统)。本文所介绍的 SAPOR 是应用于 RCS 二阶系统,基于 Krylov 子空间的方法,采用了二阶 Arnoldi 迭代。第二章:关于 SAPOR 的论文阅读报告 1. 按论文顺序下的论文介绍 1 第一部分的“介绍”简要分析了已有的互联线( Interconnect )所用的 AWE 、 PRIMA 、 ENOR 、 SMOR ,并说明了本文是采取了 RCS 二阶系统, 引入了 SOAR[1] 论文中的二阶 Arnoldi 算法。 AWE[6] : Asymptotic Waveform Evaluation , 渐近波形估计。优点是可以显式计算的( explicitly-calculated ), 缺点是不能产生高阶模型, 该方法的直接应用其实已经被淘汰了。[3] 引入了基于 Krylov 子空间的方法,可以提供数值稳定性,也可以满足无源性。 PRIMA[5] 采用了 Arnoldi 迭代算法,可以无源性, 在数值快速计算上却不能对大规模电路适用,而且直接应用于 RCS 二阶系统时不能保持无源性。 EDA 行业三大巨头之一的 Mentor Graphics 开发的 ENOR[7] 是针对二阶系统的, 充分利用了对称正定( symmetry positive define ,简称 ), 可是却采用了递归公式( recursive formula ),因此不是数值稳定的。 Carne