文档介绍：第四章导数的应用问题 ——罗必塔法则、函数的性质和图像目录§1微分中值定理——局部与整体的纽带§2罗必塔法则——计算不定式极限的一般方法§3用导数研究函数的性质——单调性、极值和最大最小值导数是函数在一点处的变化率,它反映函数在一点处的局部变化性态,而微分中值定理是在理论上给出函数在某区间的整体性质与该区间内部一点的导数之间的关系。由此讨论函数极大值和极小值问题。在前面我们介绍了导数与微分的概念及计算。为了用导数和微分去解决一些比较复杂的应用间题,并进一步研究函数的整体性质,将介绍微分学应用的理论基础——微分中值定理。在微分中值定理的基础上,通过求导数,还可以找到求若干特殊类型极限的方法——洛必达法则。§1中值定理————极大值和极小值费马定理1费马定理定义1设函数f(x)在点x0的邻域(x0-δ,x0+δ)内有定义,若对任何x∈(x0-δ,x0+δ),都有f(x)≤f(x0),(f(x)≥f(x0))极值是一个局部性概念,它只是在与极值点邻近的所有点的函数值相比较而言,并不意味着它在函数的整个定义区间内最大或最小。则称f(x0)为函数f(x)的极大值(极小值),而点x0称为f(x)的极大值点(极小值点)。函数的极大值、极小值统称为极值,极大值点、极小值点统称为极值点。极值点的必要条件——费马定理费马定理如果x0是函数f(x)的极值点,并且f(x)在该点可导,那么。定义2若,则点x0称为函数f(x)的驻点或稳定点。如果f(x)在点x0不可导,x0也有可能是f(x)的极值点。例如函数它x=0在处不可导,x=0是它的极小值。以上事实告诉我们:f(x)的极值点只能是f(x)的驻点或导数不存在的点,这两种点称为f(x)的可能极值点。但是,可能极值点未必一定是极值点,例如,对于函数y=x3,有,x=0是函数的驻点,但函数在(-∞,+∞)内单调增加,x=0不是函数的极值点。又如,函数 在处不可导,但由于函数单调增加,不是函数的极值点。仅仅是极值点的必要条件2拉格朗日中值定理设函数f(x)在区间[a,b]上的图形是一条连续光滑的曲线弧,显然是连接点A(a,f(a))和点B(b,f(b))的弦的斜率,如图,容易看出,在(a,b)内至少存在一点ξ使弧上的点C(ξ,f(ξ))的切线与弦平行。ABAB图yoxACBaξb由上述的讨论,我们可以得到如下定理——拉格朗日中值定理。拉格朗日中值定理设函数f(x)满足条件:(1)在闭区间[a,b]上连续;(2)在开区间(a,b)内可导;则在(a,b)内至少存在一点ξ,使得由拉格朗日定理可以得出两个重要的推论。证在(a,b)内任意取两点x1,x2,不妨设x1<x2,显然f(x)在[a,b]上连续,在(x1,x2)内可导,由拉格朗日中定理可知,至少存在一点ξ∈(x1,x2),使得推论1若函数f(x)在(a,b)内任意点的导数,则f(x)在(a,b)内是一个常数。由条件知,从而f(x2)-f(x1)=0。即f(x2)=f(x1)。由x1,x2是(a,b)内的任意两点,于是我们就证明了f(x)在(a,b)内恒为一个常数。