考研数学易混淆.doc

文档介绍：高等数学部分易混淆概念第一章:函数与极限一、数列极限大小判断例1:,且序列极限存在,解答:,:,,,且():选项C正确剖析:若,由夹逼定理可得,,则,且,但不存在,所以B选项不正确,(),,::由于,得,又由及夹逼定理得因此,,、无界与无穷大无界:设函数定义域为,如果存在正数,使得则称函数在上有界,如果这样不存在,就成函数在上无界;也就是说如果对于任何正数,总存在,使,:设函数在某一去心邻域内有定义(或大于某一正数时有定义).如果对于任意给定正数(不论它多么大),总存在正数(或正数),只要适合不等式(或),对应函数值总满足不等式则称函数为当(或):下列叙述正确是:②如果在某邻域内无界,则如果,则在某邻域内无界剖析:,令,当时,,而故在邻域无界,但时不是无穷大量,则①,无穷大必无界,故②:无穷大必无界,、函数极限不存在极限是无穷大当(或)时无穷大函数,按函数极限定义来说,极限是不存在,但是为了便于叙述函数性态,我们也说“函数极限是无穷大”.:函数,、如果不能退出例6:,则,但由于在任一邻域无理点均没有定义,:如果,且在某一去心邻域内满足,,为无穷大,则为无穷小。五、求函数在某点处极限时要注意其左右极限是否相等,求无穷大处极限要注意自变量取正无穷大与负无穷大时极限是否相等。:,因而时极限不存在。,因而时极限不存在。六、使用等价无穷小求极限时要注意:(1)乘除运算中可以使用等价无穷小因子替换,加减运算中由于用等价无穷小替换是有条件,故统一不用。这时,一般可以用泰勒公式来求极限。(2)注意等价无穷小条件,即在哪一点可以用等价无穷小因子替换例8:求极限剖析一:若将写成,再用等价无穷小替换就会导致错误。剖析二:用泰勒公式原式。例9:求极限解:本题切忌将用等价代换,导致结果为1。七、函数连续性判断(1)设在间断,在连续,则在间断。而在可能连续。,,则在间断,在连续,在连续。若设,在间断,但在均连续。(2)“在点连续”是“在点连续”充分不必要条件。剖析:由“若,则”可得“如果,则”,因此,在点连续,则在点连续。再由例10可得,在点连续并不能推出在点连续。(3)在连续,在连续,则在连续。其余结论均不一定成立。第二章导数与微分一、函数可导性与连续性关系可导必连续,连续不一定可导。,在处不可导。二、与可导性关系(1)设,在连续,则在可导是在可导充要条件。(2)设,则是在可导充要条件。三、一元函数可导函数与不可导函数乘积可导性讨论设,在连续,但不可导,又存在,则是在可导充要条件。剖析:若,由定义反之,若存在,则必有。用反证法,假设,则由商求导法则知在可导,与假设矛盾。利用上述结论,我们可以判断函数中带有绝对值函数可导性。四、在某点存在左右导数时原函数性质(1)设在处存在左、