文档介绍：Vandermonde矩阵及其变形矩阵的快速求逆格式(修改稿)
叶贻才
(福建师大数计学院)
摘要导出在实算中颇具实用的关于-阵及其变形矩阵的一种快速求逆格式,.算术运算量为,,算法格式紧凑、简便,并给出具体算例。
关键词-阵,变形矩阵,逆阵,反递推关系
Vandermonde矩阵(简称-阵)以及它的变形矩阵是实际计算中一类结构特殊的著名的常见矩阵,关于-阵求逆问题的探讨,早为人们所关注。50年代以来,有关这方面的研究文章相继出现(如文〔1~3〕等)。如所知,矩阵求逆,按一般计算是很繁难的(尤其是高阶矩阵)。本文借助于V-阵与多项式之间的密切联系,直观地导出V-阵的一种简易快速求逆算式。其运算量为(这里记号[2]M和A分别代表一次乘(除)法和一次加(减)法),较通常求逆算法所需运算量低了一个数量级。本文利用导出的V之逆阵的分解阵及阵中各未知元的逐个推算,从而求得,本算法无论用于人工手算(极具可操作性)或编程机算都很简便。
算法的构成
任取一组互异实数{},可构造一个实系数首1多项式:
(1)
将视为实变量的函数,并记其偏导数为
,
有
(s=1,2,…,). (2)
注意到有
(3)
其中s,=1,2,…,.
引入记号
(4)
及
(4)′
这里
(=1,2,…,)
是在处的导数。可将(3)式写成

按已知算式当≠(≠)时阵皆可逆,且
(5)
下面给出如何计算矩阵(它是一个转置的Jacobi矩阵)的各元素的途径。
对任取的一组互异实数{,,…, },再构造一组相关多项式如下:
(1)′
当=时即多项式(1),比较(1)′两边系数,可得以下递推关系式:
(=2,3,…,;=,-1,…,1). (6)
注:(6)是韦达(Viete)定理的递推形式.
引理1 (=2,3,…,;, -1,…,0)关于每个(=1,2,…,)是对称的(即交换任意两个和, 值不变).
证因交换任意两个和(≠),其结果只是改变(1)′中右边两乘积因子的顺序,积不变, 值也不变,得证.
记为由{,…,…,}(,…,1),按引理1,递推式(6)可改写成为:
(=2,3,…, …,1) (7)
(…,1). (7)′
引理2 设(,…,1)为由数组, {,…,…,} (,…,1 )按递推式(7)算得的值,则阵可以写成:
(8)
证由递推关系(7)′,求关于的偏导数,有
(,…,1),
代入(4)的阵,立得(8)。证毕。
定理 1 对任取的一组互异实数{,…,},Vandermonde矩阵的逆矩阵可以表示为的形式。即
(9)
其中(=1,2,…,),而(,…,1;,…,1)为先对整组{,…,},从递推式(6),即
(=2,3,…,;,…,1). (6)
求得,即(…,1).然后对数组{…,…,}, (,…,1 )从以下反递推关系求出数据:
(…,1;…,2). (10)
证综合(4)′、(8)及(5)三式,就有(9)式成立。证毕。
注:使用与定理1相同的条件和递推关系,可得求算阵的变形矩阵的求逆算式诸如,
推论1 ,即
求逆算法的运算量(略)和算例
例给定数组{2,3,-5,7,-10},求由它构成的阵的逆阵.
解形成中