75极值与最值.ppt

文档介绍：§7—(小):设函数z=f(x,y)在∪[(x0,y0)]有定义,若(x,y)∈∪[(x0,y0)];(x,y)≠(x0,y0)都有f(x,y)<f(x0,y0)[f(x,y)>f(x0,y0)]则称函数在(x0,y0)有极大(小)值f(x0,y0)(x0,y0)——极值点极大和极小值统称为极值。例如⑴z=3x2+4y2在(0,0)有极小值⑵在(0,0)有极大值⑶在(0,0)既不取得极大值也不取得极小值oxyzoxyz[注记]:二元函数极值的定义可以推广到元函数的情形。:对于函数z=f(x,y),若①在点(x0,y0),fx,fy存在;②(x0,y0)是极值点则Fx(x0,y0)=0fy(x0,y0)=0证明:不妨设z=f(x,y)在点(x0,y0)有极大值则当点(x,y)∈∪[(x0,y0)],(x,y)≠(x0,y0)时有f(x,y)<f(x0,y0)特别地,当x≠x0而y=y0时,(x,y0)≠(x0,y0)亦有f(x,y0)<f(x0,y0)这说明一元函数f(x,y0)在x=x0取得极大值,必有fx(x0,y0)=0同理fy(x0,y0)=0对于z=f(x,y)再点(x0,y0)有极小值,可作类似证明。[注记]:①偏导数存在且为0是极值的必要条件,但并非充分条件。换言之,z=f(x,y)在极值点处不一定存在偏导数②驻点(稳定点):若fx(x0,y0)=fy(x0,y0)=0,则(x0,y0)点称为驻点(稳定点)。驻点不一定是极值点例如z=x^2-y^2,(0,0)点是驻点,但不是极值点[注记]:③函数的驻点不一定是极值点,但具有偏导数的函数的极值点(偏导数存在)一定是驻点。即:使偏导数为0的点不一定是极值点,但极值点一定使偏导数为零。④定理说明(几何意义)曲面z=f(x,y)在极值点处的切平面∥xoy面,切平面z=z0。⑤定理可以推广到三元函数等情形。