文档介绍：§ 关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵一、有向图电路的图是电路拓扑结构的抽象描述,若图中每一支路都赋予一个参考方向, 它成为有向图。有向图的性质可以用关联矩阵、回路矩阵和割集矩阵描述。 i 3i 4i 5i 2i 6i 1①②③④二、关联矩阵 1、支路和结点关联设一条支路连接于某两个结点,则称该支路与这两个结点相关联。 2、关联矩阵设有向图的结点数为 n,支路数为 b,且所有结点与支路均加以编号。于是,该有向图的关联矩阵为一个(n×b)阶的矩阵,用 A a表示。它的行对应结点,列对应支路。它的任一元素 a jk定义如下: 它的任一元素 a jk定义如下: a jk = +1 ,表示支路 k与结点 j关联并且它的方向背离结点; a jk = -1,表示支路 k与结点 j关联并且它指向结点; a jk = 0,表示支路 k与结点 j无关联。 A a= 1234 1 2 3 4 5 6 -10 +1 0 -100 +1 +1 -100 0 -1 +1 0 00 +1 -1 0 +1 0 -1 345 2 61 ①②③④ 3、降阶关联矩阵当把所有行的元素按列相加就得一行全为零的元素,所以 A a的行不是彼此独立的。或者说按 A a的每一列只有+1 和-1两个非零元素这一特点。 A a中的任一行必能从其他( n-1)行导出。如果把 A a的任一行划去,剩下的( n- 1) ×b矩阵用A表示,并称为降阶关联矩阵。今后主要用这种降阶关联矩阵, 往往省去“降阶”二字。 1 2 3 4 5 6 A a= 1234 -10 +1 0 -100 +1 +1 -100 0 -1 +1 0 00 +1 -1 0 +1 0 -1 A a= 1234 1 2 3 4 5 6 -10 +1 0 -100 +1 +1 -100 0 -1 +1 0 00 +1 -1 0 +1 0 -1 降阶关联矩阵 A= -10 +1 -100 +1 -10 0 -1 +1 00 +1 0 +1 0 345 2 61 ①②③④被划去的行对应的结点可以当作参考结点。 4、用矩阵 A表示的 KCL 的矩阵形式电路中的 b个支路电流可以用一个 b阶列向量表示 i =[i 1 i 2 …i b] T Ai = 结点 1上的∑i结点 2上的∑i……结点(n -1) 上的∑i因此有用矩阵 A表示的 KCL 的矩阵形式 Ai =0 A= -10 +1 -100 +1 -10 0 -1 +1 00 +1 0 +1 0 345 2 61 ①②③④Ai= i 1i 2i 3i 4i 5i 6= -i 1 +i 4 +i 5i 1 -i 2 +i 3 -i 3 -i 4 +i 6 =0 000= 例如: -10 +1 -100 +1 -10 0 -1 +1 00 +1 0 +1 0 123 1 2 3 4 5 6 5、用矩阵 A表示的 KVL 的矩阵形式电路中的 b个支路电压可以用一个 b阶列向量表示 u =[u 1 u 2 …u b] T (n -1) 个结点电压可以用一个(n -1) 阶列向量表示 u n =[u n1 u n2 … u n(n-1) ] T 用矩阵 A表示的 KVL 的矩阵形式 u = A Tu n 上式表明电路中的各支路电压可以用与该支路关联的两个结点的结点电压表示,这正是结点电压法的思想。(注:转置矩阵: A的每一行是 A T的每一列) A= -10 +1 -100 +1 -10 0 -1 +1 00 +1 0 +1 0 345 2 61 ①②③④= u 1u 2u 3u 4u 5u 6= u n1u n2u n3u n1u n2u n3 +u n3 +u n3 -u n2 -u n2 -u n1 -u n1u = A Tu n 例如: ④是参考节点,电压为零 u = A Tu n KVL 的矩阵形式-1 -11000 00 -1 -101 100110 123456 1 2 3 三、回路矩阵 1、独立回路矩阵: 简称回路矩阵。一回路由某些支路组成,则这些支路与该回路关联。设有向图的独立回路数为 l,支路数为 b,对所有独立回路和支路均加以编号,于是, 该有向图的回路矩阵是一个 l×b的矩阵,用 B表示。 B的行对应一个回路, 列对应于支路, 它的任一元素, b jk定义如下: b jk = +1 , 表示支路 k与回路 j关联,并且它们的方向一致; b jk = -1, 表示支路 k与回路 j关联,并且它们的方向相反; b jk = 0, 表示支路 k与回路 j无关联。