文档介绍：12/25/2016 9:53 AM Discrete Math. , Yanxiu Sheng 1集合论部分 12/25/2016 9:53 AM Discrete Math. , Yanxiu Sheng 2集合论的起源与发展?集合论(Set Theory) 16世纪末,主要是对数集进行卓有成效的研究. ?集合论实际发展是由 19世纪 70年代德国数学家康托尔(G . Cantor) , 提出了关于基数、序数、超穷数和良序集等理论,,康托尔被誉为集合论的创始人. 12/25/2016 9:53 AM Discrete Math. , Yanxiu Sheng 3集合论的起源与发展(续) ?随着集合论的发展,以及它与数学哲学密切联系所作的讨论,在本世纪初,出现了许多似是而非、自相矛盾的悖论,如著名的罗素(B . A . W . Russell) 悖论,有力冲击了或者说动摇了集合论的发展. ?许多数学家哲学家为克服这些矛盾而建立了各种公理化集合论体系,其中尤以 20世纪初、中期的 ZFS(E . Zermelo , A . Fraenkel , T . Skolem )和 NBG(Von Neurnann , P . Bernavs , K . G? del) 公理化体系最为流行. 12/25/2016 9:53 AM Discrete Math. , Yanxiu Sheng 4集合论的起源与发展(续) ?到20世纪 60年代, P . L . Cohen 发明了强制方法而得到了关于连续统与选择公理的独立性成果,尔后的研究结果推陈出新,大量涌现. ?在同一时代,美国数学家 L . A . Zadeh 提出了 Fuzzy 集理论, 以及 20世纪 80年代波兰数学家 Z . Pawlak 发表了 Rough 集理论,这两种理论区别于以往的集合论, 是一种新的模糊集理论,受到了学术界的重视和青睐,. 12/25/2016 9:53 AM Discrete Math. , Yanxiu Sheng 5集合论的起源与发展(续) ?在此基础上以后就逐步形成了公理化集合论和抽象集合论, 使该学科成为在数学中发展最为迅速的一个分支。?集合论观点已渗透到古典分析、泛函、概率、函数论以及信息论、排队论等现代数学各个领域。 12/25/2016 9:53 AM Discrete Math. , Yanxiu Sheng :①外延公理: 如果两个集合中各个元都是相同的则它们相等. ②抽象公理: 任给一个性质,都有一个满足该性质的客体所组成的集合. ③选择公理: 每个集合都有一个选择函数. 但是, 毛病却出在抽象公理上. 12/25/2016 9:53 AM Discrete Math. , Yanxiu Sheng 7罗素悖论罗素悖论: 由“不为自身的成员这一性质的所有客体的集合”: (?y )(?x )(x∈y??(x) ) (1) 其中, ?(x)是不以 y为自由变元的公式. 把?(x)取为“x不为 x的成员”,即?(x )=?(x∈x ). 则罗素悖论符号化为(?y )(?x )(x∈y ??(x∈x) ) (2) 在(2) 中取 x=y,可得(?y )(?y )(y∈y ??(y∈y) ) (3) 12/25/2016 9:53 AM Discrete Math. , Yanxiu Sheng 8本篇的主要内容集合与关系集合关系集合的基本概念与表示方法子集与集合相等集合的运算及其性质集合的幂集笛卡尔积包含排斥原理关系的定义及表示关系的性质复合关系和逆关系关系的闭包运算集合的划分与覆盖等价关系与等价类相容关系序关系 12/25/2016 9:53 AM Discrete Math. , Yanxiu Sheng 9集合代数?集合的概念和表示?集合的基本运算?集合的计数——包含排斥原理 12/25/2016 9:53 AM Discrete Math. , Yanxiu Sheng 10 3-1 集合的概念和表示法?集合的定义与表示?集合与元素?集合之间的关系?空集?全集?幂集