文档介绍：第三、、、:加法、数乘。把向量理解为列矩阵或行矩阵时,事实上就是矩阵的加法和数乘。注意:(1)同维向量做加减。(2)零向量参与运算时,维数与其它向量维数相同。、线性表示(1)判断向量可由向量组线性表示的常用方法方法1:只要证出就可得出2方法2:证下列线性方程组有解其中方法3:利用矩阵的初等行变换行最简形矩阵3(2)在判断或证明中,常用到的两个重要结论结论1:向量可由向量组线性表示结论2:若向量组线性无关,而向量组线性相关,则向量必能由向量组线性表示,且表示式唯一。4(2)利用常用结论:1个零向量线性相关;一个非零向量线性无关。2个非零向量线性相关对应分量成比例n+1个n维向量线性相关。部分相关整体相关;整体无关部分无关。(1)一般方法:设数使得成立转化为齐次线性方程组是否有非零解的问题。原向量组无关,维数增加后得到的新向量组依然无关;原向量组相关,维数减少后得到的新向量组依然相关。5(3)利用向量组的秩判断:设向量组的秩为当时,线性无关。当时,线性相关;(1)初等变换法(最常用)将列向量组写成矩阵初等行变换行阶梯或行最简形矩阵的一个极大无关组,例如:求向量组并把其余向量用该极大无关组线性表示。6解:是一个极大无关组并且考虑:还有那些极大无关组?初等行变换7(2)极大无关组的证明方法1:利用定义线性无关;其它向量都可由线性表示。(即向量组中任意r+1个向量都线性相关)方法2:已知是向量组A的一个极大无关组,又A中部分组与等价,则也是A的一个极大无关组。例如:设是向量组A的极大无关组,且证明也是A的极大无关组。8证明:(希望证与等价)向量组可由向量组线性表示。又向量组可由向量组线性表示。两个向量组等价也是极大无关组。、向量组的秩的求法初等变换后,看非零行的行数。、矩阵的秩的证明关于向量组的秩的两个重要定理:(1)若向量组可以由向量组线性表示,则(2)若向量组可以由向量组线性表示,并且线性无关,那么10