文档介绍：用高斯消元法解线性方程组 GPA 排名系统( CTSC2001 ) 高等院校往往采用 GPA 来评价学生的学术表现。传统的排名方式是求每一个学生的平均成绩,以平均成绩作为依据进行排名。对于不同的课程,选课学生的平均成绩会受到课程的难易程度等因素的影响,因此这种排名方式不够合理。为此,我们需要对排名系统进行这样的改进:对第 i 门课的每一个学生的成绩加上一个特定的修正值 di(调整后的成绩不按照百分制),使得经过调整后,该课的平均分等于选该课的所有学生的所有课的平均分。对每一门课都这样调整,使得上述条件对所有课程都满足。你的任务是根据一个年级学生某学年的成绩,通过上述调整,得出他们的排名。简要分析 A i:选修第 i门课的学生的集合 B j:第j个学生选修课程的集合 G i ,j:第j个学生第 I门课的成绩 d i:第i门课的修正值对于第 p门课,可列出如下关系式: ??????????? pj pp Aj j pAjBi i i,j Aj B pp,j A)d (G dG 1 1这是关于 d i( i=1,2, …,n)的线性方程,我们可以整理出 n个这样的方程。线性方程组的一般形式 a 1,1x 1 +a 1,2x 2+……+a 1,nx n =b 1a 2,1x 1 +a 2,2x 2+……+a 2,nx n =b 2…… a n,1x 1 +a n,2x 2+……+a n,nx n=b n下面是 n元线性方程组的一般形式: 我们可以把它表示为增广矩阵的形式: a 1,1a 1,2…… a 1,nb 1a 2,1a 2,2…… a 2,nb 2…… a n,1a n,2…… a n,nb n先看一个例子 2 -131425412072 -1314 - - 2 -1314 -12 - ×2 × × 得出: x 3 =/(-)=-6 x 2 =(2-(-1)x 3 )/4=-1 x 1 =(1-(-1)x 2 -3x 3 )/2=9 消元过程 a 1,1 (1)a 1,2 (1)…… a 1,n (1)b 1 (1) a 2,1 (1)a 2,2 (1)…… a 2,n (1)b 2 (1) …… a n,1 (1)a n,2 (1)…… a n,n (1)b n (1)注:用上标(k)表示第k次消元前的状态第1次消元,第 1行的乘数: ( i=2,3, …,n) )1(1,1 )1(1,1,a ai im? a 1,1 (1)a 1,2 (1)…… a 1,n (1)b 1 (1) a 2,2 (2)…… a 2,n (2)b 2 (2) …… a n,2 (2)…… a n,n (2)b n (2) 得到新的增广矩阵: a i ,j (2)=a i ,j (1) -m i,1a 1,j (1) b i (2) =b i (1) -m i,1b 1 (1) ( i,j=2,3, …,n) 第k次消元,第 k行的乘数: ( i=k+1,k+2, …,n)消元过程 a 1,1 (1)a 1,2 (1)………… a 1,n (1)b 1 (1) a 2,2 (2)………… a 2,n (2)b 2 (2) ………… a k ,k (k)…… a k ,n (k)b k (k) …… a n,k (k)…… a n,n (k)b n (k) 第k次消元前的增广矩阵: )(, )(,, kkk kkia akim?a i ,j (k+1) =a i ,j (k) -m i,ka k ,j (k) b i (k+1) =b i (k) -m i,kb k (k) 增广矩阵的变化: ( i,j=k+1,k+2, …,n) 第k步消元的主行第k步消元的主元素回代过程 a 1,1 (1)a 1,2 (1)…… a 1,n (1)b 1 (1) a 2,2 (2)…… a 2,n (2)b 2 (2) …… a n,n (n)b n (n) 最后得到的增广矩阵: )(, 1 )(, )(iii nij j iji iiia xabx ?????最终结果的计算: 为什么要选主元素前面介绍的消元法都是按照自然顺序,即 x 1、 x 2、……、x n的顺序消元的。有: )(, )(,, kkk kkia akim?所以每一次消元的主元素都不能为 0。如果按照自然顺序消元的过程中出现的 a k ,k (k) =0 ,那么消元无法继续进行下去。或者| a k ,k (k)|很小,也会严重影响计算精度。为什么要选主元素例如(假设运算过程中使用单精度实数): 10 -1011112 10 -1011 -10 10 -10