文档介绍：May 2012 四川大学数学学院徐小湛 斯托克斯公式 1空间曲线积分的向量点积法 May 2012 四川大学数学学院徐小湛 斯托克斯公式 2 空间曲线积分的“向量点积法”是斯托克斯公式的一种改进的方法。在计算空间曲线积分时,通常是先利用斯托克斯公式把曲线积分化为曲面积分,再将曲面积分化为二重积分。而“向量点积法”则是直接将曲线积分化为二重积分,减少了中间环节。 May 2012 四川大学数学学院徐小湛 斯托克斯公式 3 当: ( , ), ( , ) z z x y x y D ? ? ?且L是Σ的正向边界曲线, 则有以下公式: Σ取上(下)侧时,取正(负)号空间曲线积分的向量点积法 rot { , ,1} D z z dxdy x y ? ?? ???? ????Α d?? LΑr? rotdS ?????????? A n 斯托克斯公式?L n? Ln D May 2012 四川大学数学学院徐小湛 斯托克斯公式 4 证明 2 2 2 2 { , ,1} rot1 1 x y x y D x y z z dx z dy z z z ? ?? ?? ?? ????Α原式 d?? LΑr? rotdS ?? ??? A n 由斯托克斯公式 2 2 { , ,1} 1 x y x y z z z z ? ??? ??n 其中单位法向量(教材 98页) 再利用对面积的曲面积分的计算公式(教材 217 页) rot { , ,1} x y Dz dxdy z ? ??????Α?L nD May 2012 四川大学数学学院徐小湛 斯托克斯公式 5 Σ取上(下)侧时,取正(负)号 1 D z z x y dxdy x y z P Q R ? ?? ?? ?? ?? ??????? Pdx Qdy Rdz ? ?? L? 以上公式可以写成行列式的形式: May 2012 四川大学数学学院徐小湛 斯托克斯公式 6zx y 11 1O 1 1 1 xy x y z D dxdy z x y ? ??? ?????例1 计算积分 d d d z x x y y z ?? ???其中?为平面 x+ y+ z = 1 被三坐标面所截三角形的整解: 记三角形域为?, 取上侧个边界, 方向如图所示. d d d z x x y y z ?? ???yxD 1 1, 1 z z z x y x y ? ?? ???????? ?由前面的公式(1 1 1) xyD dxdy ? ???? 3 3 = 2 xy?? ? 3 xyD dxdy ??? 1(2 xy