文档介绍：
1. 将一枚均匀的硬币抛两次,事件分别表示“第一次出现正面”,“两次出现同一面”,“至少有一次出现正面”。试写出样本空间及事件中的样本点。
解:(正,正),(正,反),(反,正),(反,反)
(正,正),(正,反);(正,正),(反,反)
(正,正),(正,反),(反,正)
2. 在掷两颗骰子的试验中,事件分别表示“点数之和为偶数”,“点数之和小于5”,“点数相等”,“至少有一颗骰子的点数为3”。试写出样本空间及事件中的样本点。
解:;
;
;
;;
3. 以分别表示某城市居民订阅日报、晚报和体育报。试用表示以下事件:
(1)只订阅日报; (2)只订日报和晚报;
(3)只订一种报; (4)正好订两种报;
(5)至少订阅一种报; (6)不订阅任何报;
(7)至多订阅一种报; (8)三种报纸都订阅;
(9)三种报纸不全订阅。
解:(1); (2); (3);
(4); (5);
(6); (7)或
(8); (9)
4. 甲、乙、丙三人各射击一次,事件分别表示甲、乙、丙射中。试说明下列事件所表示的结果:, , , , , .
解:甲未击中;乙和丙至少一人击中;甲和乙至多有一人击中或甲和乙至少有一人未击中;甲和乙都未击中;甲和乙击中而丙未击中;甲、乙、丙三人至少有两人击中。
5. 设事件满足,试把下列事件表示为一些互不相容的事件的和:,,.
解:如图:
6. 若事件满足,试问是否成立?举例说明。
解:不一定成立。例如:,,,
那么,,但。
7. 对于事件,试问是否成立?举例说明。
解:不一定成立。例如:,,,
那么,但是。
8. 设,,试就以下三种情况分别求:
(1), (2), (3).
解:
(1);
(2);
(3)。
9. 已知,,求事件全不发生的概率。
解:
=
10. 每个路口有红、绿、黄三色指示灯,假设各色灯的开闭是等可能的。一个人骑车经过三个路口,试求下列事件的概率:“三个都是红灯”=“全红”; “全绿”; “全黄”; “无红”; “无绿”; “三次颜色相同”; “颜色全不相同”; “颜色不全相同”。
解:
;;
;;
.
11. 设一批产品共100件,其中98件正品,2件次品,从中任意抽取3件(分三种情况:一次拿3件;每次拿1件,取后放回拿3次;每次拿1件,取后不放回拿3次),试求:
取出的3件中恰有1件是次品的概率;
取出的3件中至少有1件是次品的概率。
解:
一次拿3件:
(1); (2);
每次拿一件,取后放回,拿3次:
(1); (2);
每次拿一件,取后不放回,拿3次:
(1);
(2)
12. 从中任意选出3个不同的数字,试求下列事件的概率:
,。
解:
;
或
13. 从中任意选出4个不同的数字,计算它们能组成一个4位偶数的概率。
解:
14. 一个宿舍中住有6位同学,计算下列事件的概率:
(1)6人中至少有1人生日在10月份;
(2)6人中恰有4人生日在10月份;
(3)6人中恰有4人生日在同一月份;
解:
(1); (2);
(3)
15. 从一副扑克牌(52张)任取3张(不重复),计算取出的3张牌中至少有2张花色相同的概率。
解:
或
1. 假设一批产品中一、二、三等品各占60%,30%、10%,从中任取一件,结果不是三等品,求取到的是一等品的概率。
解:
令“取到的是等品”,
。
2. 设10件产品中有4件不合格品,从中任取2件,已知所取2件产品中有1件不合格品,求另一件也是不合格品的概率。
解:
令“两件中至少有一件不合格”, “两件都不合格”
3. 为了防止意外,在矿内同时装有两种报警系统I和II。两种报警系统单独使用时,,在系统I失灵的条件下,,求
两种报警系统I和II都有效的概率;
系统II失灵而系统I有效的概率;
在系统II失灵的条件下,系统I仍有效的概率。
解:令“系统(Ⅰ)有效”, “系统(Ⅱ)有效”
则
(1)
(2)
(3)
4. 设,证明事件与独立的充要条件是
证:
:与独立,与也独立。
:
又
而由题设
即
,故与独立。
5. 设事件与相互独立,两个事件只有发生的概率与只有发生的概率都是,求和.
解:,又与独立
即。
6. 证明若>0,>0,则有
当与独立时,与相容;
当与不相容时,与不独立。
证明:
(1)因为与独立,所以
,与相容。
(2)因为,而,
,与不独立。
7. 已知事件相互