文档介绍：凸函数的性质及其应用
摘要
凸函数是一类重要的函数,在数学规划中有着广泛的应用,本文给出了凸函数的三种等价定义,并讨论了凸函数的有关性质,以及它在不等式方面的相关应用。
[关键词] 凸函数等价定义性质应用最优化
Nature and Application of Convex Function
Abstract
Convex function is an important function and it has a wide application in mathematic programming. This essay gives three kinds of equal definitions of convex function and discusses some relative nature of it. And it also discusses some relative applications on inequality
[Key wards] Convex function The definition of equivalence nature application Optimization
目录
绪论…………………………………………………(1)
凸函数的概念与等价定义…………………………(1)
凸函数的概念…………………………………(1)
凸函数的等价定义………………………………(2)
凸函数的简单性质……………………………………(3)
凸函数的判定定理……………………………………(5)
关于凸函数的几个重要不等式…………………………(7)
Jensen不等式………………………………………(7)
Hadamard不等式……………………………………(10)
5 凸函数的应用…………………………………………(11)
凸函数在证明不等式中的应用……………………(11)
…………………………………(13)
广义凸函数求极小的问题…………………………(14)
…………………………(16)
结束语………………………………………………………(19)
致谢…………………………………………………………(19)
参考文献……………………………………………………(20)
绪论
凸函数是一类非常重要的函数,广泛应用于数学规划,控制论等领域,函数凸性是数学分析中的一个重要概念,它在判定函数的极值、,是在50年代以后随着数学规划,最优控制理论、数理经济学等应用数学学科的兴起而发展起来的。运筹学是在二十世纪四十年代才开始兴起的一门分支。运筹学的创始人定义运筹学是:“管理系统的人为了获得关于系统运行的最优解而必须使用的一种科学方法。”它使用许多数学工具(包括概率统计、数理分析、线性代数等)和逻辑判断方法,来研究系统中人、财、物的组织管理、筹划调度等问题,以期发挥最大效益。随着科学技术和生产的发展,运筹学已渗入很多领域里,发挥了越来越重要的作用。
本世纪初建立了凸函数理论以来,凸函数这一重要概念已在许多数学分支中得到了广泛应用。现行高等数学教材中,也都对函数的凸性作了介绍,由于各版本根据自己的需要,对凸函数这一概念作了不同形式的定义,本文就以凸函数几种定义的等价性给以证明,并给出简单的应用,应用凸函数的概念与性质来证明几个重要且常用的不等式和凸函数在证明一般不等式中的应用;研究凸函数在最优化中的应用,研究比凸函数更一般的各类凸函数,给出它们的定义及以及其之间的关系;以及广义凸函数求极小的问题(即广义凸规划)和广义凸函数求最大的问题。
1 凸函数的概念与等价定义
凸函数的概念
人们常用凸与凹来反映曲线的弯曲方向。这种从几何直观给出的关于曲线凸(凹)的概念反映在数学上就是表达该曲线的凸(凹)性概念。
定义1 设是定义在区间上的函数,若对上的任意两点,,常有
则称为上的凸函数。
定义2 若在定义上成立不等式(≠)
<
则称是上严格的凸函数。
例1 . 指数函数(>0,≠1)是(-∞,+∞)上的严格凸函数。
不难验证,恒正的函数(>0,≠1)满足关系式
由指数函数的单调性可知,当时,必有,再由不相等正数的几何平均值小于它们的算术平均值,则有
<
综上所述可得:
<
因此,(>0,≠1)是(-∞,∞)上的严格凸函数。
凸函数的等价定义
定义 1 设在区间上有定义,在上成为凸函数当且仅当对任意,∈,任意∈(0,1)