文档介绍：西北农林科技大学水建学院西北农林科技大学水建学院 1 系统工程系统工程第五章第五章非线性规划第一节非线性规划的数学模型和基本概念第二节单变量函数的寻优方法第三节无约束条件下的多变量函数的寻优方法第四节约束条件下多变量函数的寻优方法西北农林科技大学水建学院西北农林科技大学水建学院 2 系统工程系统工程如果目标函数或约束条件中包含非线性函数,就称这种规划问题为非线性规划问题。非线性规划目前还没有适于各种问题的一般算法,各个方法都有自己特定的适用范围。),,,( )21(0)( )21(0)( )( min 21 中的点。维欧氏空间是其中, , , , , , n Tn j iEnxxxX ljXg miXh Xf????????当m=0,l=0 时,称为无约束非线性规划或者无约束最优化问题。否则,称为约束非线性规划或者约束最优化问题。第一节非线性规划数学模型基本概念一、非线性规划的数学模型西北农林科技大学水建学院西北农林科技大学水建学院 3 系统工程系统工程解:设投资决策变量为????个项目决定不投资第, 个项目决定投资第 i ix i0 ,1???? ni iiAxa 10.,,1,0)1(nixx ii????????? ni ii ni iixa xbQ 1 1 max 第一节非线性规划数学模型基本概念例题例1 某企业有 n 个项目可供选择投资,并且至少要对其中一个项目投资。已知该企业拥有总资金 A 元,投资于第 n 个项目需花资金 a i元,并预计可收益 b i元。试选择最佳投资方案。目标函数: 约束条件: 西北农林科技大学水建学院西北农林科技大学水建学院 4 系统工程系统工程例2 构件容积问题设计一个右图所示的由圆锥和圆柱面围成的构件, 要求构件的表面积为 S, 圆锥部分的高 h 和圆柱部分的高 x 2之比为 a。确定构件尺寸,使其容积最大。 x 1 x 2 x 3 ???????????????0,0 2.. )3/1( max 21 2121 22 2211 2 21xx Sxxxxaxxts xxaV????第一节非线性规划数学模型基本概念西北农林科技大学水建学院西北农林科技大学水建学院 5 系统工程系统工程第一节非线性规划数学模型基本概念二、非线性规划的基本概念 1、局部极值和全局极值西北农林科技大学水建学院西北农林科技大学水建学院 6 系统工程系统工程 Tnx xfx xfx xfxf????????????????)(, )(, )()( 21????????????????????????????????????2 221 2 1 221 221 22)()()( )()()()( n nn nx Xfxx Xfxx Xf xx Xfxx Xfx XfXf?????第一节非线性规划数学模型基本概念 2、梯度 3、海赛矩阵?函数在某点的梯度,垂直于过该点的等值面的切平面。?梯度方向是函数值增加最快的方向。?满足梯度的点称为驻点。 0)( *??Xf西北农林科技大学水建学院西北农林科技大学水建学院 7 系统工程系统工程 ann an an aaa naaaA??????? 21 21 22 21 112 11 '?方阵 A′的行列式用 detA ′表示,其各阶主子式为 A i′,则 11 1aA?? 33 32 31 23 22 21 13 12 11 3aaa aaa aaaA??设有实对称矩阵 4、正定矩阵、负定矩阵、半定矩阵、不定矩阵 22 21 12 11 2aa aaA??第一节非线性规划数学模型基本概念西北农林科技大学水建学院西北农林科技大学水建学院 8 系统工程系统工程有两个奇数阶主子式, 其中一个为正,另一个为负。特征值既有大于 0又有小于0 的实对称矩阵不定矩阵 Ai ′≤0,i 为奇数 Ai ′≥0,i 为偶数特征值都不大于 0 的实对称矩阵半负定矩阵 Ai ′<0,i 为奇数 Ai ′>0,i 为偶数特征值都小于 0 的实对称矩阵负定矩阵 detA ′=0,A ′≥0 特征值都不小于 0 的实对称矩阵半正定矩阵所有各阶主子式都大于 0 特征值都大于 0 的实对称矩阵正定矩阵充分必要条件定义名称 4、正定矩阵、负定矩阵、半定矩阵、不定矩阵第一节非线性规划数学模型基本概念西北农林科技大学水建学院西北农林科技大学水建学院 9 系统工程系统工程 5、凸函数)1,0(??)()1()())1(( )2()1()2()1(xfxfxXf?????????定义设有定义在 n维欧氏空间 E n中某个凸集 R上的函数,若对任意实数α,以及 R中的任意两点,恒有)()()()( )1()2()1()2()1(xfxfxxxf T???? Tnx xfx xfxf) )(,...., )(()( )( )1()